Interrogations orales 2016/2017
Vous trouverez ici tous les exercices de colle que j'ai donnés en classe de PCSI depuis le début de l'année.
Nom de l'élève :
PASQUETExercice(s) : On lance une pièce biaisée qui tombe sur pile avec une probabilité $a\in]0,1[$.
- Si elle tombe sur pile, on marque un point ;
- si elle tombe sur face, on marque deux points.
Pour tout $n\in\N$, on désigne par $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ points (en au plus $n$ coups). Déterminer $p_n$ en fonction de $n$. On pourra commencer par calculer $p_1$ et $p_2$.
Nom de l'élève :
RICORDEAUExercice(s) : Une urne contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire $n$ en effectuant des tirages avec remise. On note $X$ et $Y$ le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.
Nom de l'élève :
CHAUMATExercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
- Montrer que pour tout $i,j\in\N$,
\[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
- Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
- Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.
Nom de l'élève :
BLANCOExercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
- Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.
Nom de l'élève :
GORIExercice(s) : Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
- Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
- Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des n vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n = X_n/n$.
- Déterminer la loi de $Y_n$ puis montrer que
\[ E(Y_n) = 1+\frac{1}{n} - (0.85)^n.\]
- On pose $a = \ln(0.85)$. Montrer que $an-ln(n) >0$ si et seulement si $E(Y_n) <1$.
- Déterminer la meilleure méthode.
Nom de l'élève :
GERVASONIExercice(s) : Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
- Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
- Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des n vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n = X_n/n$.
- Déterminer la loi de $Y_n$ puis montrer que
\[ E(Y_n) = 1+\frac{1}{n} - (0.85)^n.\]
- On pose $a = \ln(0.85)$. Montrer que $an-ln(n) >0$ si et seulement si $E(Y_n) <1$.
- Déterminer la meilleure méthode.
Nom de l'élève :
HAUTIERExercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
- Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.
Nom de l'élève :
MAAZOUZExercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
- Montrer que pour tout $i,j\in\N$,
\[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
- Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
- Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.
Nom de l'élève :
MAILLARDExercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
- On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
- Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.
Nom de l'élève :
PICARDExercice(s) :
- On tire 5 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 3 coeurs ?
- On tire 5 cartes successivement et sans remise dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement
3 coeurs ?
- On tire 5 cartes successivement et avec remise dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement
3 coeurs ?
Nom de l'élève :
SOMMETExercice(s) : On lance une pièce biaisée qui tombe sur pile avec une probabilité $a\in]0,1[$.
- Si elle tombe sur pile, on marque un point ;
- si elle tombe sur face, on marque deux points.
Pour tout $n\in\N$, on désigne par $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ points (en au plus $n$ coups). Déterminer $p_n$ en fonction de $n$. On pourra commencer par calculer $p_1$ et $p_2$.
Nom de l'élève :
VERNIZEAUExercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
- Montrer que pour tout $i,j\in\N$,
\[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
- Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
- Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.
Nom de l'élève :
PASQUETExercice(s) : On considère $A = \begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix}$ et l'application :
\[\begin{array}{rrcl}
\varphi : &\mathscr M_2(\R) &\longrightarrow &\mathscr M_2(\R) \\
&M &\mapsto &A M
\end{array}\]
Montrer que $\varphi$ est une application linéaire et déterminer une base du noyau et de l'image de $\varphi$.
Nom de l'élève :
CLOEZExercice(s) : On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\R^3$ suivants :
\[
P = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + 2y - z = 0\}\quad \text{et} \quad D = \text{Vect}(w){\text{~o\`u~}}w = (1,0, - 1)
\]
On note $\mathscr B = (i,j,k)$ la base canonique de $\R^3$, $p$ la projection vectorielle sur $P$ parallèlement à $D$, $q$ celle sur $D$ parallèlement à $P$, et enfin, $s$ la symétrie vectorielle par rapport à $P$ et parallèlement à $D$.
-
Former la matrice de $p$ dans $\mathscr B$.
-
En déduire les matrices, dans $\mathscr B$, de $q$ et de $s$.
Nom de l'élève :
PILLIETExercice(s) : Soit $n \in \N^*$ et $\Delta \colon \K_{n + 1}[X] \to \K_n[X]$ l'application définie par
\[
\Delta(P) = P(X + 1) - P(X)
\]
-
Montrer que $\Delta$ est bien définie et que $\Delta$ est une application linéaire.
-
Déterminer le noyau de $\Delta$.
-
En déduire que cette application est surjective.
Nom de l'élève :
THEVENINExercice(s) : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\K$ de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. Montrer que si $u$ est de rang $1$ alors il existe $\alpha\in\K$ tel que $u^2 = \alpha u$. La réciproque est-elle vraie ?
Nom de l'élève :
BLANCOExercice(s) : Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel
\[
H = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x - 2y + 3z = 0\}
\]
Soient $u = (1,2,1) \text{ et } v = ( - 1,1,1)$.
- Montrer que $\mathscr B = (u,v)$ forme une base de $H$.
- Déterminer un vecteur $w \in \R^3$ tel que $(u,v,w)$ est une base de $\R^3$.
- Déterminer la matrice dans la base $\mathscr B$ de la projection sur $H$ parallèlement à $\text{Vect}(w)$.
Nom de l'élève :
GERVASONIExercice(s) : Soit $\phi$ définie sur $E = R_2[X]$ par $\phi(P) = (X^2 - X + 1) P' - (2X-1) P +X^2 P(1)$. Déterminer les images de $1$, $X$ et $X^2$ par l'application $\phi$. Justifier que $\phi$ est bien un automorphisme de $E$.
Nom de l'élève :
HAUTIERExercice(s) : Soit $$f\colon\begin{aligned}[t]
\R^3&\longrightarrow \R^3\\
(x,y,z)&\longmapsto (x+y+z,x-y,2\,x+2z)
\end{aligned}$$
Montrer que $f \in \mathscr L(\R^3)$ et déterminer une base de $\ker(f)$ et de $\Im(f)$. Déterminer $f(F)$ où $F = \text{Vect}\big( (1,1,1)\big)$.
Nom de l'élève :
GUERINOTExercice(s) : Soient $F = \{f \in \mathscr C^1(\R,\R)\mid f(0) = f'(0) = 0\}$ et $G = \{x \mapsto ax + b\mid(a,b) \in \R^2\}$. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathscr C^1(\R,\R)$.
Nom de l'élève :
CATTEExercice(s) : On considère $A = \begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix}$ et l'application :
\[\begin{array}{rrcl}
\varphi : &\mathscr M_2(\R) &\longrightarrow &\mathscr M_2(\R) \\
&M &\mapsto &A M
\end{array}\]
Montrer que $\varphi$ est une application linéaire et déterminer une base du noyau et de l'image de $\varphi$.
Nom de l'élève :
SOMMETExercice(s) : Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel
\[
H = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x - 2y + 3z = 0\}
\]
Soient $u = (1,2,1) \text{ et } v = ( - 1,1,1)$. Montrer que $\mathscr B = (u,v)$ forme une base de $H$
Nom de l'élève :
VERNIZEAUExercice(s) : Soient
\[
H = \{(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n) \in \K^n \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\}
\]
et $u = (1, \ldots ,1) \in \K^n$. Montrer que $H$ et $\text{Vect}(u)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\K^n$.
Nom de l'élève :
BERNARDExercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
-
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
-
Déterminer une base de $F \cap G$.
Nom de l'élève :
PITOISExercice(s) : Dans $\R^4$ on considère les vecteurs $u = (1,0,1,0),v = (0,1, - 1,0),w = (1,1,1,1),x = (0,0,1,0)$ et $y = (1,1,0, - 1)$. Soit $F = \text{Vect} (u,v,w)$ et $G = \text{Vect}(x,y)$. Quelles sont les dimensions de $F,G,F + G$ et $F \cap G$ ?
Nom de l'élève :
GAILLARDExercice(s) : On considère
\[f\colon\begin{aligned}[t]
\R^3&\longrightarrow \R^3\\
(x,y,z)&\longmapsto (x+y+z,x-y,2\,x+2z)
\end{aligned}\]
Montrer que $f \in \mathscr L(\R^3)$ et déterminer une base de $\ker(f)$ et de $\Im(f)$. Déterminer $f(F)$ où $F = \text{Vect}\big( (1,1,1)\big)$.
Nom de l'élève :
RICORDEAUExercice(s) : Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ tel que pour tout $x \in E$, $(f(x),x)$ est une famille liée. Montrer que $f$ est une homothétie.
Nom de l'élève :
LACOURExercice(s) : Soit $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
-
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
-
Déterminer une base de $F \cap G$.
Nom de l'élève :
CHAUMATExercice(s) : Montrer qu'il existe une unique application linéaire $\varphi$ de $\R_2[X]$ dans $\R^3$ tel que $\varphi(1) = (1,1,1)$, $\varphi(1+X) = (0,1,2)$ et $\varphi(1+X+X^2) = (1,1,3)$. Déterminer une expression de $\varphi(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré au plus $2$.
Nom de l'élève :
GORIExercice(s) : Montrer qu'il existe une unique application linéaire $\varphi$ de $\R_2[X]$ dans $\R^3$ tel que $\varphi(1) = (1,1,1)$, $\varphi(1+X) = (0,1,2)$ et $\varphi(1+X+X^2) = (1,1,3)$. Déterminer une expression de $\varphi(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré au plus $2$.
Nom de l'élève :
MAAZOUZExercice(s) : Soient $F = \{f \in \mathscr C^1(\R,\R)\mid f(0) = f'(0) = 0\}$ et $G = \{x \mapsto ax + b\mid(a,b) \in \R^2\}$. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathscr C^1(\R,\R)$.
Nom de l'élève :
MAILLARDExercice(s) : Pas vraiment d'exercice.
Nom de l'élève :
PICARDExercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
-
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
-
Déterminer une base de $F \cap G$.
Nom de l'élève :
KREILOSExercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
-
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
-
Déterminer une base de $F \cap G$.
Nom de l'élève :
SIMONNETExercice(s) : Dans $\R^4$ on considère les vecteurs $u = (1,0,1,0),v = (0,1, - 1,0),w = (1,1,1,1),x = (0,0,1,0)$ et $y = (1,1,0, - 1)$. Soit $F = \text{Vect} (u,v,w)$ et $G = \text{Vect} {\text{(}}x,y)$. Quelles sont les dimensions de $F,G,F + G$ et $F \cap G$ ?
Nom de l'élève :
COUTURIERExercice(s) : Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension 3 et $e = (e_1 ,e_2 ,e_3)$ une base de $E$.
On pose
\[
\varepsilon_1 = e_2 + 2e_3 , \varepsilon_2 = e_3 - e_1 \text{ et } \varepsilon_3 = e_1 + 2e_2
\]
Montrer que $\varepsilon = (\varepsilon_1 ,\varepsilon_2 ,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Nom de l'élève :
CLOEZExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
GAILLARDExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
RICORDEAUExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
LACOURExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
PILLIETExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
THEVENINExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
CHAUMATExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
GORIExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
PITOISExercice(s) : Exercice imposé.
Nom de l'élève :
RICORDEAUExercice(s) : t
Nom de l'élève :
CHAUMATExercice(s) : t
Nom de l'élève :
GORIExercice(s) : t
Nom de l'élève :
GUERINOTExercice(s) : Déterminer tous les nombres réels $a$ et $b$ pour que
\[ \frac{\ln(2-x)^2}{x^2+ax+b} \underset{\longrightarrow}{x \to 1} 1.\]
Nom de l'élève :
MAILLARDExercice(s) : Pour $\alpha = - 1 / 2$ et $k \in \N$, exprimer
\[
\frac{\alpha(\alpha - 1) \ldots(\alpha - k + 1)}{k!}
\]
à l'aide de nombres factoriels. En déduire une expression du $DL_{2n + 1}(0)$ de $\frac{1}{\sqrt {1 - x^2}}$ puis du $DL_{2n + 2}(0)$ de $\arcsin(x)$.
Nom de l'élève :
SOMMETExercice(s) : Déterminer les limites suivantes :
\begin{enumerate}
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x^{\ln x}}{\ln x}$
Nom de l'élève : KREILOSExercice(s) : Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction
\[ x \mapsto \sqrt{x^2-x^3}.\]
Nom de l'élève : LACOURExercice(s) : Prolonger par continuité la fonction
\[ x \mapsto \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}\] sur $]-1,+\infty[$
puis étudier sa dérivabilité.
Nom de l'élève : VERNIZEAUExercice(s) : On étudie l'équation $\tan x = x$ d'inconnue $x$ réelle.
-
Soit $n \in \N$. Montrer que cette équation possède une unique solution $x_{n}$ dans l'intervalle $I_n = ]- \pi / 2{\pi / 2}[ + n\pi$.
-
Déterminer un équivalent de la suite $(x_{n})_{n\in\N}$ ainsi définie.
-
Réaliser un développement asymptotique à trois termes de $x_n$.
Nom de l'élève : DELOLOExercice(s) : Résoudre sur $]{1},{ + \infty}[$ l'équation différentielle
\[
y' - \frac{x}{x^2 - 1}y = 2x
\]
Nom de l'élève : LEOUFFREExercice(s) : Résoudre sur $\R$ l'équation
\[
y'' + 4xy' + (3 + 4x^2)y = 0
\]
en introduisant la fonction $z(x) = {e}^{x^2} y(x)$.
Nom de l'élève : UNGExercice(s) : Soit $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivable telle que $f' + a f$ est bornée. Montrer que $f$ est bornée.
Nom de l'élève : BLANCOExercice(s) : On pose
\[
u_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2n - 1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2n)}
\]
-
Exprimer $u_n$ à l'aide de nombres factoriels.
-
Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
Nom de l'élève : GERVASONIExercice(s) : Etudier la suite $(u_n)$ définie par $$u_0 = a \in \mathbb{R}\quad\text{ et }\quad\forall n \in \mathbb{N}\text{,}\quad u_{n + 1} = u_n^2 $$
Nom de l'élève : PASQUETExercice(s) : \'Etudier la suite $(u_n )$ définie par \[u_0 \geqslant 1\quad\text{ et }\quad\forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n + 1} = 1 + \ln (u_n ).\]
Nom de l'élève : IGHIROUAYOURExercice(s) : Calculer \[ \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\text{d}t}{3+\cos(t)}\]
Nom de l'élève : RAISExercice(s) : Déterminer les fonctions $f\colon [{0},{1}] \to \R$ dérivables telles que
\[
f'(x) + f(x) = f(0) + f(1)
\]
Nom de l'élève : LEGRIPExercice(s) : Résoudre sur $]{0},{ + \infty}[$ l'équation différentielle
\[
xy''(x) + 2y'(x) - xy(x) = 0
\]
en posant $y(x) = x^\alpha z(x)$ avec $\alpha \in \R$ bien choisi.
Nom de l'élève : CHAUMATExercice(s) : Résoudre sur $]{1},{ + \infty}[$ l'équation différentielle
\[
y' - \frac{x}{x^2 - 1}y = 2x
\]
Nom de l'élève : GORIExercice(s) : On pose, pour tout $n \in \N$ : \[ I_n = \int_0^1 t^n \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\] Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle I_n = \frac{2n}{2n+3} I_{n-1}$ puis calculer
\[ \int_0^1 t^2 \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\]
Nom de l'élève : PITOISExercice(s) : Résoudre sur $\R$ l'équation
\[
y'' + y' + y = 0.
\]
Nom de l'élève : HAUTIERExercice(s) : Calculer \[ \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\text{d}t}{3+\cos(t)}.\] On fera le changement de variable $y \tan\left( \frac{t}{2}\right)$.
Nom de l'élève : CATTEExercice(s) : On pose, pour tout $n \in \N$ : \[ I_n = \int_0^1 t^n \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\] Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle I_n = \frac{2n}{2n+3} I_{n-1}$ puis calculer
\[ \int_0^1 t^2 \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\]
Nom de l'élève : MAAZOUZExercice(s) : Montrer que pour tout $p \in \N$, $p \geq 2$, \[ \int_p^{p+1} \frac{\text{d}t}{t} \leq \frac{1}{p} \leq \int_{p-1}^{p} \frac{\text{d}t}{t}.\] En déduire que pour tout $n\in\N$ : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq 1+\ln(n+1) - \ln 2.\] Conclure quant à la limite de $(u_n)$.
Nom de l'élève : CLOEZExercice(s) : Déterminer une primitive de \[x \mapsto \frac{1}{x^3-x}\] sur un intervalle qu'on précisera.
Nom de l'élève : PICARDExercice(s) :
-
Montrer que
\[
\int_0^{\pi / 2} {\frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \ \text{d}t} = \int_0^{\pi / 2} {\frac{\sin t}{\cos t + \sin t}} \ \text{d}t = \frac{\pi}{4}
\]
-
En déduire
\[
\int_0^1 {\frac{\text{d}t}{{\sqrt {1 - t^2} + t}}}
\]
Nom de l'élève : GAILLARDExercice(s) : Déterminer une primitive sur $\R$ de \[ x \mapsto e^{x} \sin (2x) \cos^3 x.\]
Nom de l'élève : KREILOSExercice(s) : Montrer que
\[
\forall n \in \N\setminus \{0,1\}, \quad 1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} > \frac{3n}{2n + 1}
\]
Nom de l'élève : RICORDEAUExercice(s) : On se propose d'établir
\[
\forall n \in \N^* , \exists(p,q) \in \N^2 , n = 2^p(2q + 1)
\]
en procédant de deux manières:
-
1ère méthode: Pour $n \in \N^*$ fixé, on pose $A = \{m \in \N \mid 2^m \mid n\}$.\\
Montrer que $A$ admet un plus grand élément $p$ et que pour celui-ci on peut écrire $n = 2^p(2q + 1)$ avec $q \in \N$.
-
2ème méthode: Procéder par récurrence forte sur $n \in \N^*$
Montrer finalement qu'il existe une bijection entre $\N$ et $\N^2$.
Nom de l'élève : LACOURExercice(s) : Soit $(u_n)$ la suite réelle déterminée par
\[
u_0 = 2,u_1 = 3 \text{ et } \forall n \in \N,u_{n + 2} = 3u_{n + 1} - 2u_n
\]
Montrer
\[
\forall n \in \N,u_n = 2^n + 1
\]
Nom de l'élève : PILLIETExercice(s) : Soient $E$ un ensemble et $f\colon E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = f$.
Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.
Nom de l'élève : VERNIZEAUExercice(s) : Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $c \ne 0$ et $a^2 + bc \ne 0$.\\
On considère la fonction $f\colon \R\setminus \{a/c\} \to \R\setminus \{a/c\}$ définie par
\[
f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.
\]
-
Justifier que l'application $f$ est bien définie.
-
Calculer $f \circ f$, en déduire que $f$ est une bijection dont on déterminera l'application réciproque.
Nom de l'élève : THEVENINExercice(s) : Montrer que
\[
\forall n \in \N^* ,1!3! \ldots(2n + 1)! \geq((n + 1)!)^{n + 1}
\]
Nom de l'élève : BERNARDExercice(s) : Soit $n \in \N^*$. Déterminer une formule pour
\[ S_n = 1 \times n + 2 \times (n-1) + \cdots + n \times 1.\]
Nom de l'élève : BLANCOExercice(s) : Soit $p,n\in\N$ avec $p\geq N$. Montrer que
\[ \sum_{k=n}^p \binom{n}{k} = \binom{n+1}{p+1}.\]
Nom de l'élève : SIMONNETExercice(s) : Soit $k,p,n\in\N$ tel que $0 \leq p \leq k \leq n$.
- Montrer que
\[ \binom{n-p}{k-p}\binom{n}{p} = \binom{n}{k} \binom{k}{p}.\]
- En déduire les valeurs de
\[ \sum_{p=0}^k \binom{n-p}{k-p}\binom{n}{p} \quad \text{et} \quad \sum_{k=p}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{k}{p}.\]
Nom de l'élève : GERVASONIExercice(s) : Montrer que la suite de terme général $u_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n {\frac{1}{n + k}}$ est strictement croissante.
Nom de l'élève : COUTURIERExercice(s) : Montrer
\[
\forall n \in \N^* ,{2n \choose n} \geq \frac{2^{2n}}{2n + 1}
\]
Nom de l'élève : PASQUETExercice(s) : Soit $n \in \N^*$. On désire calculer le produit $P(x) = \prod_{0 \leq k \leq n} {\cos(2^k x)}$ pour tout $x \in \R$.
-
Commencer par traiter le cas $x \equiv 0\quad \left[\pi \right]$.
-
Pour $x \ne 0\quad \left[\pi \right]$, simplifier $\sin(x)P(x)$ et exprimer $P(x)$.
Nom de l'élève : GUERINOTExercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \C$ :
\[ \big( x^2 + 5x + 1 \big)^2 + \big( 3x+2 \big)^2 = 0.\]
Nom de l'élève : MAILLARDExercice(s) : Montrer que pour tout $n \in \N^*$,
\[ \sum_{k=0}^n k! \leq (n+1)!.\]
Nom de l'élève : SOMMETExercice(s) : Soit $n \in \N^*$. Déterminer une formule pour
\[ 1\times n + 2 \times (n-1) + \cdots + n \times 1.\]
Nom de l'élève : IGHIROUAYOURExercice(s) : Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\C$.
- On suppose que $P$ est de degré $2$ et possède deux racines distinctes $a$ et $b$. Montrer que l'unique racine de $P'$ est laffixe d'un point du segment $[A,B]$ où $A$, $B$ ont pour affixes respectifs $a$, $b$.
- On suppose que $P$ est de degré $3$ et possède trois racines distinctes $a$, $b$, $c$. Montrer que les racines de $P'$ sont les affixes de points à l'intérieur du triangle $ABC$ où $A$, $B$, $C$ ont pour affixes respectifs $a$, $b$, $c$.
Nom de l'élève : RAISExercice(s) : Soit $n \in \N^*$ et $\theta \in \R$. Déterminer les solutions de l'équation d'inconnue $z \in \C$ :
\[ z^{2n} -2 \cos(\theta) z^n + 1 = 0.\]
Nom de l'élève : LEGRIPExercice(s) : Soit $n \in \N$, $n \geq 3$. On note $\omega_1,\dots,\omega_n$, les racines $n$-ièmes de l'unité où $\omega_n = 1$.
- Déterminer, pour tout $p\in\N^*$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \omega_i^p$.
- Déterminer, avec la question précédente,
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1-\omega_i}.\]
Nom de l'élève : HAUTIERExercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$,
\[ z^3 = \overline{z}.\]
Nom de l'élève : MAAZOUZExercice(s) : Soit $z \in \C$. Déterminer la limite, si elle existe, de
\[\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Nom de l'élève : PICARDExercice(s) : Montrer que pour tout $z \in \C \setminus \R^-$,
\[ \left(\frac{z + \vert z \vert}{\sqrt{2 \Re(z)+ 2 \vert z \vert}}\right)^2 = z.\]
Nom de l'élève : LEOUFFREExercice(s) : Déterminer les solutions du système d'inconnues $x,y \in \C$ :
\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
x + y &=& 1+i\\
xy &=& 2-i
\end{array}
\right.\]
Nom de l'élève : UNGExercice(s) : Soit $a,b,c \in R$ tel que $e^a + e^b + e^c = 0$. Montrer que
\[e^{2a} + e^{2b} + e^{2c} = 0.\]
Nom de l'élève : KREILOSExercice(s) : \'Etudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction \[x \mapsto \sqrt{\tan x}\] et montrer qu'elle réalise une bijection $f$ de $[0,\pi/2[$ sur un ensemble qu'on déterminera. Exprimer $f^{-1}$.
Nom de l'élève : LACOURExercice(s) : Déterminer, en fonction de $a,b\in\R$, le module et un argument de : \[e^{i\,a} - e^{i\,b}.\]
Nom de l'élève : VERNIZEAUExercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$,
\[ \arcsin x + \arcsin \left( \frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.\]
Nom de l'élève : CHAUMATExercice(s) : Déterminer l'ensemble des complexes $z \in \C$ tel que
\[ z + \overline{z} = \vert z \vert.\]
Nom de l'élève : GORIExercice(s) : Montrer que pour tout $x \in [0,+\infty[$,
\[ \arctan(\sh x) = \arccos\left( \frac{1}{\ch x}\right).\]
Nom de l'élève : PITOISExercice(s) : Pour quels entiers $n \in \N$, $(1+i)^n + (1-i)^n = 0$ ?
Nom de l'élève : CATTEExercice(s) : Simplifier la fonction
\[ x \mapsto \arcsin\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{2}}\right).\]
Nom de l'élève : CLOEZExercice(s) : Montrer que pour pour tout $x \in ]-1,1[$,
\[ \vert \arcsin(x) \vert \leq \frac{\vert x \vert}{\sqrt{1 - x^2}}.\]
Nom de l'élève : GAILLARDExercice(s) : Représenter la fonction \[x \mapsto \arccos\big(\cos(3\,x)\big).\]
Nom de l'élève : BERNARDExercice(s) : Résoudre l'inéquation d'inconnue $x \in \R$ :
\[ \ln\vert x+1\vert - \ln\vert 2x+1\vert \leq \ln 2.\]
Nom de l'élève : SIMONNETExercice(s) : \'Etudier puis simplifier la fonction
\[ x \mapsto \arcsin\left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right).\]
Nom de l'élève : COUTURIERExercice(s) : Soit $a,b \in ]0,+\infty[$ tel que $a < b$. \'Etudier la fonction
\[ \varphi : x \mapsto \frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}\] sur $]0,+\infty[$.
Nom de l'élève : GUERINOTExercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ :
\[ e^x +e^{1-x} = e + 1.\]
Nom de l'élève : MAILLARDExercice(s) : Montrer que, pour tout $n \in \N$, pour tout $x \in \R^+$,
\[ e^x \geq 1 +x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\]
où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$.
Nom de l'élève : SOMMETExercice(s) : \'Etudier la fonction
\[ x \mapsto \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x.\]
Nom de l'élève : RICORDEAUExercice(s) : Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$,
\[x^x (1-x)^{1-x} \geq \frac{1}{2}.\]
Nom de l'élève : PILLIETExercice(s) : Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$,
\[ x - \frac{x^2}{2} < \ln(x+1) < x.\]
En déduire la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de
\[ \left( 1 + \frac{1}{n^2}\right)\left( 1 + \frac{2}{n^2}\right) \times \cdots \times \left( 1 + \frac{n}{n^2}\right).\]
Nom de l'élève : THEVENINExercice(s) : Soit $m\in\R$. Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ :
\[ e^{2x} - 4me^x +2(m+1) = 0.\]
Nom de l'élève : DELOLOExercice(s) : Combien le polynôme $X^5 -80X +7$ a-t-il de racines réelles ?
Nom de l'élève : LEOUFFREExercice(s) : Faire une étude complète de la fonction
\[ f : x \mapsto \frac{e^x - 1}{e^x +1}\]
Nom de l'élève : UNGExercice(s) : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dérivable deux fois tel que $f'' < 0$. Montrer que la courbe de $f$ est en-dessous de n'importe laquelle de ses tangentes.
Nom de l'élève : BLANCOExercice(s) : Montrer que pour tout $x \in \R^+$,
\[ x- \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x.\]
Nom de l'élève : GERVASONIExercice(s) : Montrer que, pour tout $x \in \R$,
\[ \sqrt{x^2 +(x-1)^2} + \sqrt{x^2 +(x+1)^2} \geq 2. \]
Nom de l'élève : PASQUETExercice(s) : \'Etudier la fonction
\[ f : x \mapsto \ln(x^2 + \sqrt{x^2-1}).\]