%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}
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de maths sur \\ \texttt{\href{http://exo7.emath.fr}{exo7.emath.fr}}\end{minipage}
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%----- Commandes supplementaires ------

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\begin{document}

\titre{DS8 \hfill PCSI}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

\textbf{Justifiez} et \textbf{rédigez} toutes vos réponses : la clarté et la précision sont prises en compte dans l'évaluation.

\medskip La calculatrice est interdite.

\medskip

\noindent \textbf{Exercice 1 : Une suite d'intégrales} \hrulefill

On consid\`{e}re, pour tout $n\in\N$, la fonction $\varphi_{n}$
d\'{e}finie, pour $x \in \R$, par $\varphi _{n}(x) =\left( 1-x\right)^{n}e^{-2x}$ et l'intégrale 
\[
I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}(t) \dt.
\]

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $I_n$ est bien définie pour tout $n \in \N$ et calculer $I_{0}$.
\item  Justifier l'inégalité, pour tout $n \in \N$ et tout $t \in [0,1]$ : \[ 0\leq \varphi_{n+1}(t) \leq \varphi_n(t)\] puis déterminer le signe et la monotonie de la suite $\left( I_n\right)_{n\in \N}$. 

%\item  D\'{e}terminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$. 

\item  En déduire que la suite $\left( I_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.

\item  En déterminant le maximum de la fonction $g:x\mapsto e^{-2x}$ sur $\left[ 0,1\right]$, montrer que, pour tout $n \in \N$,
\[
0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1}.
\]

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in \N}$. 

\item  A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que pour tout $n\in\N$, $2I_{n+1}=1-( n+1) I_{n}$.
\item  En exprimant, pour $n \in \N$, $n I_n$ en fonction de $I_{n+1}$ et $I_n$, montrer que la suite $\left( n I_{n}\right)_{n\in 
\Bbb{N}}$ converge vers $1$. 
\item  D\'{e}terminer également la limite de la suite $(
n^2 I_{n}-n) _{n\in \Bbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 
\item Conclure en explicitant trois réels $a$, $b$, $c$ tels que : 
\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).
\]
\item Déterminer la nature de la série $\sum I_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Exercice 2 : Transformation d'Abel} \hrulefill

\textbf{Partie I : Transformation dans le cas général}

\smallskip

Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite positive décroissante de limite nulle et $(S_n)_{n\in\N}$ une suite bornée.

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Simplifier, pour $n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (a_k - a_{k+1})$ et montrer que la série $\sum (a_n - a_{n+1})$ converge et que \[\sum_{k=0}^{+\infty} (a_k - a_{k+1}) = a_0.\]
\item Justifier qu'il existe une constante $M \in \R^+$ tel que \[ |(a_n - a_{n+1}) S_n|\leq M (a_n - a_{n+1})\] puis en déduire que $\sum (a_n-a_{n+1}) S_n$ est une série convergente.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ : \[ a_0 S_0 + \sum_{k=1}^n a_k (S_k - S_{k-1}) - a_{n+1} S_n = \sum_{k=0}^n (a_k - a_{k+1}) S_k.\]
\item En montrant que $(a_{n+1} S_n)$ tend vers $0$, conclure que $\sum a_n (S_n - S_{n-1})$ est une série convergente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Application à une série particulière.}

\smallskip

Soit $\theta \in \R \setminus 2\pi\Z$. On pose $a_0 = 1$, $S_0 = 1$ puis, pour tout $n \in \N^*$, \[a_n = \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad S_n = \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}.\]

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Justifier que $(a_n)$ respecte les hypothèses de la partie I et, pour $n \in \N^*$, simplifier $S_n - S_{n-1}$.
%\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ : \[ S_n = \frac{ e^{i (n+1)\theta} -1}{e^{i\theta}-1}.\]
\item En exprimant $(S_n)$ avec la somme géométrique, montrer que pour tout $n \in \N^*$ : \[ |S_n| \leq \frac{2}{|e^{i \theta} - 1|}.\]
\item Conclure, avec la partie I, que \[ \sum \frac{e^{in\theta}}{n} \text{ est convergente}.\]
\end{enumerate}

\textbf{Problème : Calcul de l'intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis} (adapté de CCP PSI) \hrulefill

Le but du problème est de calculer l'intégrale, à laquelle on donnera un sens : $$ \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt.$$

\bigskip

\textbf{Partie I : Une étude de fonction définie par une intégrale}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x \in \R$, par $$ f(x) = \int_0^x \exp(-t^2) \dt = \int_0^x e^{-t^2} \dt.$$

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Calculer $f(0)$, justifier que $f$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $\R$ et que, pour tout $x \in \R$ : $ f'(x) = e^{-x^2}$.
\item En déduire que $f$ est croissante sur $\R$.
\item En justifiant que pour tout $t \in [1,+\infty[$, $e^{-t^2} \leq e^{-t}$, montrer que pour tout $x \in [1,+\infty[$ : $$ \int_1^x e^{-t^2} \dt \leq \int_1^x e^{-t} \dt = e^{-1} - e^{-x}.$$
\item Montrer que pour tout $x \in [1,+\infty[$ : $$ f(x) = \int_0^1 e^{-t^2} \dt + \int_1^x e^{-t^2} \dt \leq \int_0^1 e^{-t^2} \dt + e^{-1}.$$
\item En déduire que $f$ est majorée sur $\R$ et que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ (on utilisera 2).
\end{enumerate}

Ceci permet de justifier la notation $\displaystyle \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt$ que l'on calcule dans la suite du problème.

\bigskip

\textbf{Partie II : Intégrales de Wallis}

\smallskip

On introduit, pour $n \in \N$, l'intégrale $\displaystyle W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)^n \dt$.

\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{0}
\item Calculer $W_0$ et $W_1$ et $W_2$ (on pourra utiliser les formules d'Euler).
\item Justifier que pour tout $n \in \N$ et $t \in [0,\frac{\pi}{2}]$ : $$\cos(t)^{n+1} \leq \cos(t)^{n}.$$ 
\item En déduire, en intégrant l'inégalité précédente, que la suite $(W_n)_{n\in\N}$ est décroissante.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $W_n >0$ (on prendra garde que l'inégalité est stricte).
\item Montrer ainsi, avec les deux questions précédentes, que $(W_n)_{n\in\N}$ est une suite convergente.
\item Montrer également que pour tout $n \in \N$ : $W_{n+2} \leq W_{n+1} \leq W_n$ et que $\displaystyle \frac{W_{n+2}}{W_n} \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1$.
\end{enumerate}
On va maintenant déterminer un équivalent de $(W_n)_{n\in\N}$.
\begin{enumerate}[{II}.1] \setcounter{enumi}{6}
\item Soit $n \in \N$. En écrivant que $\displaystyle W_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)\,\cos(t)^{n+1} \dt$ et en effectuant une intégration par parties, montrer que $$W_{n+2} = \left[ \sin(t)\,\cos(t)^{n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n+1) \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(t)^2 \,\cos(t)^{n} \dt.$$ Simplifier cette expression en déterminant la valeur du crochet.
\item Rappeler la valeur, pour tout réel $t$ de $\sin(t)^2 + \cos(t)^2$ et en déduire de la question précédente que pour tout $n \in \N$ : $$W_{n+2} = (n+1)\big(W_n - W_{n+2}\big).$$
%\item Montrer ainsi que pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \frac{W_{n+2}}{W_n} = \frac{n+1}{n+2}$.
\item En déduire que pour tout $n \in \N$, $(n+2)\, W_{n+2}\,W_{n+1} = (n+1)\, W_{n+1}\,W_{n}$ puis que pour tout $n \in \N$, \[ (n+1)\, W_{n+1}\,W_{n} = \frac{\pi}{2}.\]
\item Avec les questions II.6 et II.8 montrer que $W_{n+1} \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim} W_n$ puis, avec II.8, que $$W_n \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} } {\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2\,n}}.$$ Quelle est la limite de $(W_n)_{n\in\N}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Calcul de l'intégrale de Gauss}

\begin{enumerate}[{III}.1]
\item Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ : $e^{-x} \geq 1-x$.
\item En déduire, (en posant $x = t^2$ dans la question précédente), que pour tout $n \in \N$ et tout $t \in [0,1]$ : $$e^{-n\,t^2} \geq (1-t^2)^n$$ puis que $$ \int_0^1 (1-t^2)^n \dt \leq \int_0^1 e^{-n\,t^2} \dt.$$
\item Soit $n \in \N^*$. En effectuant le changement de variable $y = \sqrt{n} \, t$, montrer que $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-y^2} \dy = \int_0^1 e^{-n\,t^2} \dt$.
\item En effectuant le changement de variable $t = \sin(y)$, montrer que pour tout $n \in \N$ : $$ \int_0^1 (1-t^2)^n \dt =  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(y)^{2\,n+1} \dy.$$
\item Déduire des trois questions précédentes et de la partie précédente que pour tout $n \in \N^*$ : $$ \sqrt{n}\, W_{2\,n+1} \leq \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \dt.$$
\item Avec l'équivalent de la partie précédente, quelle est la limite de $(\sqrt{n}\, W_{2\,n+1})_{n\in\N}$ ?
\item En passant à la limite dans l'inégalité de III.5, montrer que $$ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \leq \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \dt.$$
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $n \geq 2$, $\displaystyle \sqrt{n} \, W_{2\,n-2} \geq \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \dt$ puis conclure.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème 3 : Développement asymptotique de la série harmonique} \hrulefill

On pose, pour tout $n \in \N^*$ : \[ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.\] Le but du problème est d'étudier la suite $(H_n)_{n\in\N^*}$.

\bigskip

\textbf{Partie I : Constante d'Euler}

\smallskip

On pose, pour tout $n \in \N^*$, \[ u_n = H_n - \ln n \quad \text{et} \quad v_n = u_n -\frac{1}{n}.\]

\begin{enumerate}[{I}.1]
\item Montrer que pour tout $x \in ]-1,+\infty[$ : \[ \ln(1+x) \leq x.\]
\item Donner un développement limité de la fonction $x \mapsto \ln(1+x)$ à l'ordre $2$ en $0$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ : \[ v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n} - \ln\left( 1+\frac{1}{n}\right) \geq 0.\] En déduire la monotonie de la suite $(v_n)$.
\item Déterminer également la monotonie de $(u_n)$ et montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
\item On note $\gamma$ la limite commune de $(u_n)$ et $(v_n)$. Montrer que $\gamma >0$ et que \[ H_n = \ln n  + \gamma + o(1).\] Donner également un équivalent de la suite $(H_n)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Série alternée}

\smallskip

On pose, pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ et $\displaystyle A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$

\begin{enumerate}[{II}.1]
\item Exprimer, pour tout $n \in \N^*$, $A_n$ en fonction de $H_n$ et $H_{2n}$.
\item En utilisant la dernière question de la partie I (en l'appliquant à $H_{2n}$ notamment) et l'égalité précédente, montrer que \[ S_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \ln 2.\]
\item Justifier que $(A_n)$ est convergente.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $A_{2n} = S_n$ (on pourra effectuer une récurrence).
\item Conclure que \[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2.\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : \'Equivalent du reste d'une série convergente}

\smallskip

On considère deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ à termes strictement positifs tel que \[ a_n \sim b_n \quad \text{et} \quad \sum a_n \text{ converge}.\]

\begin{enumerate}[{III}.1]
\item Quelle est la nature de $\sum b_n$ ? Justifier les existences, pour tout $n \in \N$, de $\displaystyle \sum_{k = n+1}^{+\infty} a_n$ et $\displaystyle \sum_{k = n+1}^{+\infty} b_n$.
\item Montrer que pour tout $\varepsilon \in ]0,+\infty[$, il existe $N \in \N$ tel que pour tout $k \geq N$ : \[ (1-\varepsilon) b_k \leq a_n \leq (1+\varepsilon) b_k.\]
\item En déduire que pour tout $\varepsilon \in ]0,+\infty[$, il existe $N \in \N$ tel que pour tout $n \geq N$ : \[ (1-\varepsilon) \sum_{k = n+1}^{+\infty} b_k \leq \sum_{k = n+1}^{+\infty} a_k \leq (1+\varepsilon)\sum_{k = n+1}^{+\infty} b_k.\]
\item Conclure que $\displaystyle \sum_{k = n+1}^{+\infty} a_k \sim \sum_{k = n+1}^{+\infty} b_k$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie IV : Application à la série harmonique}

\smallskip

On reprend les notations de la partie I et on pose, pour $n \in \N^*$ : \[ w_n = u_n - \gamma = H_n - \ln n - \gamma.\]

\begin{enumerate}[{IV}.1]
\item En utilisant le développement limité de $x \mapsto \ln(1+x)$ avec $x = 1/n$, montrer que \[ w_n  - w_{n-1} \sim -\frac{1}{2 n^2}.\]
\item En déduire que \[w_n = - \sum_{k=n+1}^{+\infty} (w_k - w_{k-1}) \sim \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{2k^2}.\] Pour l'équivalent, on utilisera le résultat de la partie précédente.
\item Montrer l'encadrement, par comparaison série-intégrale, pour tous entiers $N,n$ vérifiant $N\geq n+1\geq 2$ : \[ \int_{n+1}^{N+1} \frac{\dt}{t^2} \leq \sum_{k=n+1}^{N+1} \frac{1}{k^2} \leq \int_{n}^{N} \frac{\dt}{t^2}.\]
\item En déduire, en calculant les intégrales et en faisant tendre $N$ vers $+\infty$, que pour tout $n \in\N^*$ : $$\frac{1}{n+1} \leq  \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{n}.$$
\item En déduire un équivalent de $\displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$ puis de $(w_n)$.
\item Conclure que \[H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n}\right).\]
\end{enumerate}

\end{document}

