
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%----- Structure des exercices ------

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%----- Presentation ------

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%----- Commandes supplementaires ------

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\begin{document}

\titre{DS 7 \hfill 11/04/2015}

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le noyau d'une application linéaire pour qu'elle soit injective.
\item Soit $n \in \N^*$. Quelles sont les dimensions des $\R$-espaces vectoriels : $\R^n$, $\R_n[X]$, $\mathscr M_n(\R)$ ?
\item Que peut-on dire d'un endomorphisme $p$ d'un espace vectoriels $E$ vérifiant $p^2 = p$ ?
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textit{: Polynômes de Lagrange}}

Soit $a,b,c \in \R$ des réels distincts. On considère les polynômes de $\R[X]$ : \[L_0(X) = \frac{(X-b)(X-c)}{(a-b)(a-c)}, \quad L_1(X) = \frac{(X-a)(X-c)}{(b-a)(b-c)} \quad \text{et} \quad L_2(X) = \frac{(X-a)(X-b)}{(c-a)(c-b)}.\] On notera également $\mathscr B$ la base canonique de $\R_2[X]$ et $\mathscr C$ la base canonique de $\R^3$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $L_i(a)$, $L_i(b)$ et $L_i(c)$ pour $i=0,1,2$.
\item Montrer que $\mathscr B' = (L_0,L_1,L_2)$ est une famille libre.
\item En déduire que $\mathscr B'$ est une base de $\R_2[X]$.
\end{enumerate}

On considère l'application $$ \begin{array}{rcl}
\varphi : \R_2[X] &\longrightarrow& \R^{3} \\
     P &\longmapsto& \big(P(a),P(b),P(c)\big)
\end{array}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item Montrer que $\varphi$ est injective.
\item En déduire que $\varphi$ est un isomorphisme. On notera $\varphi^{-1}$ son application réciproque.
\item Que valent $\varphi(L_0)$, $\varphi(L_1)$ et $\varphi(L_2)$ ? En déduire une nouvelle démonstration de la question précédente ainsi que les valeurs de $\varphi^{-1}\big( (1,0,0)\big)$, $\varphi^{-1}\big( (0,1,0)\big)$ et $\varphi^{-1}\big( (0,0,1)\big)$.
\item Avec la question précédente, montrer que pour tout $(x,y,z) \in \R^3$, \[ \varphi^{-1}\big( (x,y,z)\big) = x\,L_0(X) + y\,L_1(X) + z\, L_2(X).\]
\item Déterminer les expressions des matrices $A = \mathscr M \! at_{\mathscr B,\mathscr C}(\varphi)$ de $\varphi$ de la base $\mathscr B$ vers la base $\mathscr C$ ainsi que la matrice $A' = \mathscr M \! at_{\mathscr B',\mathscr C}(\varphi)$ de $\varphi$ de la base $\mathscr B'$ vers la base $\mathscr C$.
\item Justifier que $A$ et $A'$ sont inversibles, déterminer l'inverse de $A'$ et montrer que \[A^{-1} = \frac{1}{(a-b)(a-c)(b-c)}\begin{pmatrix}
b^2c-c^2b & c^2a-a^2c& a^2b-b^2a\\
c^2-b^2 & a^2 - c^2 & b^2-a^2\\
b-c & c-a & a-b \\
\end{pmatrix}.\]
\end{enumerate}

\finexercice

\newpage

\enonce{000104}{\textit{: Projecteurs et symétries}}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$ et les applications $$ \begin{array}{rrcl}
s : & \R^3 &\longrightarrow& \R^3 \\
     & (x,y,z) &\longmapsto& \left(\displaystyle\frac{x-2\,y-2\,z}{3},\frac{-2\,x+y-2\,z}{3} , \frac{-2\,x-2\,y+z}{3}\right)
\end{array}$$ et \[\begin{array}{rrcl}
p : & \R^3 &\longrightarrow& \R^3 \\
     & (x,y,z) &\longmapsto& \left(\displaystyle\frac{2x-y-z}{3},\frac{-x+2y-z}{3} , \frac{-x-y+2z}{3}\right)
\end{array}.\] On note $e_1 = (1,1,1)$, $e_2 = (1,-1,0)$ et $e_3 = (0,1,-1)$ des vecteurs de $\R^3$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathscr B = (e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
\item Montrer que $s$ et $p$ sont des endomorphismes de $\R^3$.
\item Déterminer la matrice de $s$ dans la base $\mathscr B$ notée $\mathscr M \! at_{\mathscr B,\mathscr B}(s)$.
\item Montrer que $s^2 = \text{I}d_{\R^3}$ et calculer également $p^2$. Justifier que $s = 2p - \text{Id}_{\R^3}$.
\item Montrer que pour tout $(x,y,z) \in \R^3$, $(s-\text{Id}_{\R^3})\big((x,y,z) \big) = -\frac{2}{3} (x+y+z,x+y+z,x+y+z)$.
\item En déduire que $(e_2,e_3)$ est une base de $\ker(s-\text{Id}_{\R^3})$.
\item Montrer également que $(e_1)$ est une base $\ker(s+\text{Id}_{\R^3})$.
\item Déterminer une base de $\ker(p)$ ainsi qu'une base de $\Imm(p)$.
\item Quelles relations y a-t-il entre $\ker(p)$, $\Imm(p)$, $\ker(s+\text{Id}_{\R^3})$, $\ker(s-\text{Id}_{\R^3})$.
\end{enumerate}

Dans les deux dernières questions, $s$ et $p$ sont des endomorphismes de $\R^3$ \textbf{quelconques} vérifiant \[ s = 2p-\text{I}d_{\R^3}.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{9}
\item Montrer que $s$ est une symétrie si et seulement si $p$ est un projecteur.
\item Montrer que si $s$ est une symétrie alors \[\ker(p) = \ker(s+\text{Id}_{\R^3}) \quad \text{et} \quad \Imm(p) = \ker(s-\text{Id}_{\R^3}).\]
\end{enumerate}

\finexercice

\pb{0}{\textbf{1 : Hyperplans et sous-espaces vectoriels} (adaptation de CCP PC)}

\textbf{Un exemple.}

Dans toute cette partie on considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$. On pose \[D = \{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x+y = 0, x+z = 0\}\] ainsi que \[H_1 = \{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x+y = 0\} \quad \text{et}  \quad H_2 = \{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x+z = 0\}.\]

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Monter que $D$, $H_1$, $H_2$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
\item Déterminer une base de $D$ et la dimension de $D$.
\item Déterminer des bases  de $H_1$ et $H_2$.
\item Déterminer les dimensions de $H_1$ et $H_2$ et montrer que $D$ est l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de $\R^3$ de dimension $2$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Droites de $\R^3$.}

Dans toute cette partie on considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$. On pose $D = \text{Vect}\big( (a,b,1) \big)$ où $(a,b,1) \in \R^3$ est un vecteur de $\R^3$. Les réels $a$ et $b$ sont \textbf{fixés}.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4}
\item Donner une base de $D$ et la dimension de $D$.
\item Montrer que les familles $\big( (a,b,1), (1,0,0)\big)$ et $\big( (a,b,1), (0,1,0)\big)$ sont libres.
\item On pose $H_1 = \text{Vect}\big( (a,b,1), (1,0,0)\big)$ et $H_2 = \text{Vect}\big( (a,b,1), (0,1,0)\big)$. Montrer que $H_1$ et $H_2$ sont de dimension 2 et que $D= H_1 \cap H_2$.
\end{enumerate}

Désormais, on pose $D = \text{Vect}\big( (a,b,0) \big)$ où $(a,b,0) \in \R^3$ est un vecteur de $\R^3$ \textbf{non nul}.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{7}
\item Déterminer à nouveau la dimension de $D$
\item On pose $H_1 = \text{Vect}\big( (a,b,0), (0,0,1)\big)$ et $H_2 = \text{Vect}\big( (0,1,0), (1,0,0)\big)$. Montrer que $D = H_1 \cap H_2$ et que $H_1$ et $H_2$ sont de dimension 2.
\item Conclure de façon générale que toute droite de $\R^3$ est l'intersection de deux plans de $\R^3$.
\end{enumerate}

\textbf{Intersection de deux hyperplans :}

On considère dans cette partie un espace vectoriel $E$ de dimension $n\in\N^*$. On appelle hyperplan $H$ de $E$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n-1$. On considère ici deux hyperplans de $E$ notés $H_1$ et $H_2$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{10}
\item Justifier que $\dim(H_1 \cap H_2) \leq n-1$.
\item En déduire, en appliquant la formule de Grassmann, que \[ \dim(H_1 + H_2) \geq n-1.\]
\item \`A quoi est égal $H_1 + H_2$ lorsque $\dim(H_1 + H_2) = n$ ?
\item Montrer que si $\dim(H_1 + H_2) = n-1$ alors $H_1 = H_2$  (utiliser à nouveau la formule de Grassmann).
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Intersection de plusieurs hyperplans :}

On considère dans cette partie un espace vectoriel $E$ de dimension $n\in\N$, $n \geq 2$ et $F$ un sous espace vectoriel de $E$ de dimension $p \in \llbracket 1,n-1\rrbracket$. 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{14}
\item Justifier que $F \neq E$ et $F \neq \{ 0_E\}$.
\item Montrer qu'il existe une base $\mathscr B = (e_1,\dots,e_n)$ de $E$ tel que $(e_1,\dots,e_p)$ est une base de $F$.
\end{enumerate}

On pose pour $i\in \llbracket p+1,n\rrbracket$, \[ H_i = \text{Vect}(e_1, \dots, e_{i-1},e_{i+1},\dots,e_n).\]

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{16}
\item Montrer que pour tout $i\in \llbracket p+1,n\rrbracket$, $H_i$ est un hyperplan de $E$
\item Justifier que $F = H_{p+1} \cap \cdots \cap H_n$.
\item Conclusion : montrer que dans un espace vectoriel de dimension finie $n\in\N^*$, tout sous-espace vectoriel de dimension $p < n$ est l'intersection de $n-p$ hyperplans.
\end{enumerate}

\finexercice

\pb{0}{\textbf{2 : Endomorphismes nilpotents} (adaptation de Centrale PSI)}

Dans tout ce problème, $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\in \N^*$. Ce problème étudie de façon théorique les endomorphismes $f$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant : il existe un entier $k\in\N$ tel que \[ f^k = \underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{\text{$k$ fois}} = 0_{\mathscr L(E)}.\] On prendra garde au fait que $k$ n'est pas nécessairement la dimension de $E$. 

\smallskip

\textbf{Un premier exemple en dimension 3.}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^3$ et l'application $$ \begin{array}{rrcl}
h :& \R^3 &\longrightarrow& \R^3 \\
     & (x,y,z) &\longmapsto& (0,x,y)
\end{array}.$$ 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Justifier que $h^3 = 0_{\mathscr L(\R^3)}$ et que $h^2$ n'est pas l'application nulle. Que vaut $h^k$, pour $k \in \N$, $k \geq 3$ ?
\item On note $\mathscr B = (e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$. Montrer que $\big(e_1,h(e_1),h^2(e_1)\big)$ est une base de $\R^3$.
\end{enumerate}

\smallskip

%On note $u^0 = Id_E$ puis pour tout $k \in \N^*$, $u^k = u \circ u^{k-1}$.

\textbf{L'opérateur de décalage général.}

On considère le $\R$-espace vectoriel $\R^n$ et l'application $$ \begin{array}{rrcl}
S :& \R^n &\longrightarrow& \R^n \\
     & (x_1,\dots,x_n) &\longmapsto& (0,x_1, \cdots,x_{n-1})
\end{array}.$$ et note $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\R^n$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que $S^n = 0_{\mathscr L(\R^n)}$ et que $S^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(\R^n)}$.
\item Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$, $$ S^k(e_1) = \underbrace{S \circ \cdots \circ S}_{\text{$k$ fois}}(e_1) = e_{k+1}.$$ 
\item Conclure que $\mathscr B = \big( e_1,S(e_1),\dots,S^{n-1}(e_1)\big)$ est une base de $\R^n$.
\item Déterminer la matrice de $S$ dans la base $\mathscr B$ notée $\mathscr M \! at_{\mathscr B,\mathscr B}(S)$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Indice de nilpotence.}

On considère un endomorphisme $f \in \mathscr L(E)$ vérifiant \[ f^k = 0_{\mathscr L(E)}\] et on veut montrer que $f^n = 0_{\mathscr L(E)}$. On pose, pour $p\in\N$, \[N_p = \ker(f^p).\]

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6}
\item Que vaut $N_k$ ?
\item Montrer que pour tout $p\in\N$, $N_p \subset N_{p+1}$.
\item En déduire la monotonie de la suite $\big( \dim(N_p)\big)_{p\in\N}$ et que cette suite converge.
\item Montrer que s'il existe un entier $p \in \N$ tel que $N_p = N_{p+1}$, alors $N_p = N_{p+q}$ pour tout $q \in \N$.
\end{enumerate}

\noindent On admet qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{10}
\item Justifier qu'il existe un plus petit entier $p_0$ tel que $N_{p_0} = E$.
\item Conclure que $p_0 \leq n$ et que $f^n = 0_{\mathscr L(E)}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Endomorphismes nilpotents d'indice $\dim(E)$ :}

\smallskip

On considère le cas où $n = \dim(E)$ et où l'endomorphisme $f \in \mathscr L(E)$ vérifie : $$ f^n = 0_{\mathscr L(E)} \quad \text{et} \quad f^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}.$$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{12}
\item Justifier qu'il existe un vecteur $a \in E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0_E.$
\end{enumerate}

On considère la famille \[ \mathscr B = \big(a,f(a), f^2(a), \dots, f^{n-1}(a)\big).\]
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{13}
\item Montrer que $\mathscr B$ est libre (on pourra composer une combinaison linéaire de $\mathscr B$ par $f^{n-1}$).
\item En déduire que $\mathscr B$ est une base de $E$.
\item On note, pour $i = 1,\dots,n$, $b_i = f^{i-1}(a)$. Justifier, pour $i = 1,\dots,n-1$, que $f(b_i) = b_{i+1}$ et déterminer la valeur de $f(b_n)$.
\item \'Ecrire la matrice de $f$ dans la base $\mathscr B$ notée $\mathscr M \! at_{\mathscr B,\mathscr B}(f)$.
\end{enumerate}

On note à nouveau $(e_1, \dots ,e_n)$ la base canonique de $\R^n$ et on considère l'unique application linéaire $\psi$ de $E$ dans $\R^n$ vérifiant pour tout $i = 1,\dots,n$ : $$\psi(b_i) = e_i.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{17}
\item Pourquoi $\psi$ est-elle un isomorphisme ?
\item On reprend l'endomorphisme $S$ de la partie sur l'opérateur de décalage. Montrer que $$ f= \psi^{-1} \circ S \circ \psi \quad \text{et} \quad \psi \circ f \circ \psi^{-1} = S.$$
\end{enumerate}

\textit{Ainsi tous les endomorphismes cherchés sont de la forme $\psi^{-1} \circ S \circ \psi$.}

\bigskip

\textbf{Commutant d'un endomorphisme nilpotent :}

Soit $f \in \mathscr L(E)$ vérifiant, comme dans la partie précédente, $ f^n = 0_{\mathscr L(E)}$ et $f^{n-1} \neq 0_{\mathscr L(E)}.$ On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ commute avec $f$ si $$ f \circ u = u \circ f.$$ On veut trouver une caractérisation de l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $f$. On appelle cet ensemble le commutant de $f$ et on le note $\mathcal C(f).$ 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{19}
\item Montrer que $\mathcal C(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr L(E)$.
\item Soit $u \in \mathcal C(f)$. On utilise les notations de la partie précédente. Justifier qu'il existe $\lambda_1,\dots,\lambda_n \in \R$ tels que $$u(a) = \lambda_1\,b_1 + \cdots + \lambda_n \,  b_n.$$
\item Déterminer pour $k = 0,\dots,n-1$ les coordonnées de $u\big(f^k(a)\big)$ dans la base $(b_1,\dots,b_n)$. 
\item En déduire que $u = \lambda_1\,Id_E + \lambda_2\, f + \cdots + \lambda_n \, f^{n-1}$.
\item Montrer que $\mathcal C(f) = \text{Vect}(Id_E,f,f^2,\dots,f^{n-1})$.
\item Quelle est la dimension de $\mathcal C(f)$ ?
\item Quelles sont les formes des différentes applications linéaires commutant avec la dérivation des polynômes de $\R_n[X]$ ?
\end{enumerate}

\finexercice

\end{document}