
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Structure des exercices ------

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%----- Presentation ------

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%----- Commandes supplementaires ------

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\begin{document}

\titre{DS 6 \hfill 14/03/2015}

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \N^*$. Quelles sont les dimensions des $\R$-espaces vectoriels : $\R^n$, $\R_n[X]$, $\mathscr M_n(\R)$ ?
\item Donner les développements limités de $\cos$ et $\sin$ en $0$ à l'ordre 3.
\item Que dire d'un polynôme de degré au plus $n$ qui a au moins $n+1$ racines distinctes ?
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textit{: Interpolation polynomiale}}

On considère les polynômes de $\R[X]$ : \[L_1(X) = \frac{1}{2}(X^2 - X), \quad L_2(X) = 1-X^2, \quad \text{et} \quad L_3(X) = \frac{1}{2} (X^2 + X).\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines et le degré de $L_1$, $L_2$ et $L_3$.
\end{enumerate}

Soit $P\in\R_2[X]$ un polynôme de degré au plus $2$ à coefficients réels. 

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $P(-1) L_1(X) + P(0) L_2(X) + P(1) L_3(X) \in \R_2[X]$.
\item On pose $Q(X) = P(X) - \left[ P(-1) L_1(X) + P(0) L_2(X) + P(1) L_3(X)\right]$. Quel est au plus le degré de $Q$ ? Montrer que $-1$, $0$ et $1$ sont racines de $Q$.
\item En déduire que $Q$ est nul puis que : \[P(X) = P(-1) L_1(X) + P(0) L_2(X) + P(1) L_3(X) \]
\item Montrer qu'il existe un unique polynôme $P \in \R_2[X]$ vérifiant $P(-1) = P(1) =0$ et $P(0) = 2$ dont on donnera l'expression.
\end{enumerate}

On considère les polynômes de $\R[X]$ : \[H_1(X) = 1-X^2, \quad H_2(X) = X-X^2, \quad \text{et} \quad H_3(X) = X^2.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5}
\item En introduisant un polynôme $Q$, montrer que pour tout $P\in\R_2[X]$, \[P(X) = P(0) H_1(X) + P'(0) H_2(X) + P(1) H_3(X).\]
\item En déduire qu'il existe un unique polynôme $P \in \R_2[X]$ vérifiant $P(0) = P'(0) = 1$ et $P(1) = 0$ dont on donnera l'expression.
\end{enumerate}

On considère deux réels $a < b$ et les polynômes de $\R[X]$ :  \[K_1(X) = 1-\frac{(X-a)^2}{(b-a)^2}, \quad K_2(X) = (X-a)\left[ 1-\frac{X-a}{b-a}\right], \quad \text{et} \quad K_3(X) = \frac{(X-a)^2}{(b-a)^2}.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}
\item Calculer les valeurs de $K_1$, $K_2$, $K_3$ en $a$ et en $b$ et de $K'_1$, $K'_2$, $K'_3$ en $a$.
\item En introduisant à nouveau un polynôme $Q$, montrer que pour tout $P\in\R_2[X]$, \[ P(X) = P(a) K_1(X) + P'(a) K_2(X) + P(b) K_3(X).\]
\end{enumerate}

\finexercice

\enonce{000104}{\textit{: Accélération de convergence}}

On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto (1+x)^{\textstyle \frac{1}{x}}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $]-1,0[$ et sur $]0,+\infty[$.
\item Déterminer le développement limité en $0$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ à l'ordre $3$ puis le développement limité en $0$ à l'ordre 2 de \[ x \mapsto \frac{\ln(1+x)}{x}-1.\]
\item En déduire les deux égalités \[ f(x) = e \times \exp\left( -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \underset{ \overset { x \rightarrow 0 } {} }{o}(x^2) \right) = e - e\frac{x}{2} + e \frac{11}{24}x^2 + \underset{ \overset { x \rightarrow 0 } {} }{o}(x^2).\]
\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $0$. On prolonge $f$ par cette valeur en $0$.
\item Montrer que $f$ ainsi prolongée est dérivable en $0$ et que $f'(0) = -\frac{e}{2}$.
\item Déterminer un équivalent de $f(x) - e$ lorsque $x$ tend vers $0$.
\end{enumerate}

On définit, pour $n \in \N^*$, $\displaystyle u_n = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = \textstyle f\left( \frac{1}{n} \right)$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}
\item Montrer que $(u_n)_{n\in\N^*}$ converge vers $e$ et donner un équivalent de la suite $(u_n - e)_{n\in\N^*}$.
\end{enumerate} 

On définit, pour $n \in \N^*$, $v_n = 2u_{2n} - u_n$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{8}
\item Montrer que $\displaystyle v_n - e \sim -\frac{11e}{48n^2}$. Quel est l'intér\^et de cette suite ?
\end{enumerate} 

\finexercice

\pb{0}{\textbf{1 :} \textit{Une fonction définie par une intégrale (Adapté petites Mines 2008)}}

\noindent \textbf{Partie I : Développements limités et régularité}

On considère la fonction \[ F : x \mapsto \frac{\sin x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $F$ est définie et dérivable sur $\R^*$ et calculer sa dérivée sur $\R^*$.
\item Montrer que $F'$ est du même signe que $h : x \mapsto x\cos x - \sin x$ sur $\R^{*}$.
\item Déterminer un développement limité de la fonction $F$ en $0$ à l'ordre $2$ (on pourra d'aider de la question de cours 2).
\item Montrer que $F$ est prolongeable par continuité en $0$ (on précisera par quelle valeur). Dans la suite, on notera à nouveau $F$ son prolongement.
\item Montrer que $F$ est dérivable en $0$ et donner une équation de sa tangente en $0$.
\item \'Etudier la position de la courbe représentative de $F$ par rapport à sa tangente en $0$ au voisinage de $0$.
\item Déterminer les solutions de l'équation d'inconnue $x\in\R^+$, $F(x)=0$.
%\item Déterminer également les solutions de l'équation d'inconnue $x\in\R^+$, $G(x) = 0$.
\item Montrer, sans calcul, que pour tout $k\in\N^*$, il existe $a_k \in ]k\pi,(k+1)\pi[$ tel que $F'(a_k) = 0$.
\item Montrer que pour tout $k\in\N^*$, $h$ est strictement monotone sur $[k\pi,(k+1)\pi]$ (on précisera la monotonie selon la parité de $k$ et on pourra dériver $h$).
\item Les réels $a_k$, pour $k\in\N^*$, sont-ils uniques ?
%\item Calculer, pour $k\in\N^*$, $F(k\pi)$ et $F(k\pi+\frac{\pi}{2})$.
%\item \'Etablir que pour tout $k\in\N^*$, $a_k \in \left]k\pi,(k+1)\pi+\frac{\pi}{2}\right[$.
\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $(a_k)_{k\in\N^*}$ ainsi qu'un équivalent de cette suite (on pourra écrire un encadrement).
\end{enumerate}

\smallskip

\noindent \textbf{Partie II : Une fonction définie par une intégrale.}

On introduit $E$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ de classe $\mathscr C^1$ sur $\R$. On rappelle que pour toute fonction $\varphi$ continue sur $[0,1]$, \[ \left|\int_0^1 \varphi(t) \, \text{d}t \right| \leq \int_0^1 |\varphi(t)| \, \text{d}t.\]
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{11}
\item Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
\end{enumerate}

On considère dans la suite $f \in E$ et, pour tout $x \in \R$, \[ I_f(x) = \int_0^1 f(t) \, \cos(xt) \, \text{d}t.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{12}
\item Justifier que $I_f$ est bien définie et que $f'$ est bornée sur $[0,1]$.
\item Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout $x\in \R^*$, \[ I_f(x) = \frac{\sin(x) f(1)}{x} - \frac{1}{x}\int_0^1\sin(xt) f'(t) \, \text{d}t.\]
\item En déduire qu'il existe une constante $C\in\R^+$ (dépendant de $f$) tel que pour tout $x\in \R^{+,*}$, \[ |I_f(x)| \leq \frac{C}{x}\] puis déterminer la limite de $I_f$ en $+\infty$.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie III : Continuité de $I_f$.}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{15}
\item Soit $a,b\in\R$. En utilisant l'égalité des accroissements finis appliquée à une fonction bien choisie, montrer qu'il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que \[ \cos(b) - \cos(a) = -\sin(c)(b-a).\]
\item En déduire que pour tout $t \in [0,1]$ et $x,x_0\in\R$ : \[|\cos(xt) - \cos(x_0 t)| \leq  |t|\,|x-x_0|. \]
\item Montrer ainsi que pour tout $x,x_0\in\R$, \[ |I_f(x) - I_f(x_0)| \leq |x-x_0| \int_0^1 |tf'(t)| \, \text{d}t.\]
\item Conclure que la fonction $I_f$ est continue sur $\R$.
\item Retrouver ainsi la continuité de $F$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\finexercice

\pb{1}{\textbf{2 :} \textit{Polynômes de Tchebytchev et applications (Adapté Centrale 2002 et \'Ecole de l'air 1993)}}

La partie II est indépendante des autres parties.

\noindent \textbf{Partie I : Polynômes de Tchebytchev.}

On définit une suite de polynômes de $\R[X]$ : $(T_n)_{n\in\N}$ par $T_0 = 1$, $T_1 = X$ et pour tout $n \in \N$, \[ T_{n+2} = 2X T_{n+1} - T_{n}.\]

\begin{enumerate}
\item Expliciter $T_2,T_3$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $T_n$ est de degré $n$ et que le coefficient dominant de $T_n$ et $2^{n-1}$ (on pourra effectuer une récurrence forte).
\item Montrer que, pour tous $a,b\in\R$, $\cos(a+b) + \cos(a-b) = 2 \cos(a) \cos(b)$.
\item En déduire que pour tout $n \in \N$ et tout $\theta \in \R$, \[ T_n\big(\cos(\theta)\big) = \cos (n\theta).\]
\item Déterminer, pour tout $n \in \N$, $T_n(0)$ et $T_n(1)$.
\item Montrer que pour tout $\theta \in ]0,\pi[$ \[ T'_n\big(\cos(\theta)\big) = \frac{n\sin(n\theta)}{\sin(\theta)}.\]
\item En déduire que, pour tout $n \in \N$, $T'_n(1) = n^2$ (on pourra faire tendre $\theta$ vers $0$ dans l'égalité précédente).
\end{enumerate}


\smallskip

\noindent \textbf{Partie II : Une série numérique.}

On considère les suites $(S_n)_{n\in\N^*}$ et $(I_n)_{n\in\N^*}$ définie, pour tout $n \in \N^*$ par \[ S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \quad \text{et} \quad I_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)^2} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)^2}.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $S_n -1 \leq \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}$
\item Montrer qu'il existe des réels $a,b$ tels que pour tout entier $k \geq 2$, $\displaystyle \frac{1}{k(k-1)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{(k-1)}$ pour en déduire une expression simple, pour tout entier $n \geq 2$, de $\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}$.
\item Déduire de deux questions précédentes que pour tout entier $n\geq 2$, $\displaystyle S_n \leq 2 -\frac{1}{n}$.
\item Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\N^*}$ est convergente. On note sa limite $\ell$.
\item Justifier que pour tout $n \in \N^*$, $S_{2n} = I_n + \frac{1}{4} S_n$.
\item En déduire que $(I_n)_{n\in\N^*}$ est convergente et que $\lim \limits_{n \to +\infty} I_n = \frac{3}{4} \ell$.
\end{enumerate}

L'objet de la partie suivante est de calculer la limite $\ell$.

\noindent \textbf{Partie III : Calcul de la limite.}

Soit $n \in \N^*$. On pose pour tout $k \in \ll 1,n\rr$, $x_k = \cos \left( \frac{2k-1}{2n}\pi\right)$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{13}
\item Montrer que $T_n(X) = 2^{n-1} (X-x_1)\times \cdots \times (X-x_n)$ (on pourra calculer, pour $k\in\ll1,n\rr$, $T_n(x_k)$).
\item Soit $I$ un intervalle ne contenant aucun $x_k$, $k \in \ll 1,n\rr$. Montrer que pour tout $x \in I$, \[ \frac{T'_n(x)}{T_n(x)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k}.\] \textit{Indication : dériver, en justifiant, $\ln(|T_n|)$.} 
\item En déduire que \[ n^2 = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1-\cos \left( \frac{2k-1}{2n}\pi\right)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{2k-1}{4n}\pi\right)}.\]
\item En exprimant $\frac{1}{\tan}$ uniquement en fonction de $\sin^2$, monter que \[\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan^2 \left( \frac{2k-1}{4n}\pi\right)} = n^2 - \frac{n}{2}.\]
\item Justifier que pour tout $x\in\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin x \leq x \leq \tan x$. En déduire que pour tout $n\in\N^*$ : \[ 2n^2-n\leq\sum_{k=1}^n \frac{1}{\left( \frac{2k-1}{4n}\pi\right)^2} \leq 2n^2.\]
\item Conclure que $\lim \limits_{n \to +\infty} I_n = \displaystyle \frac{\pi^2}{8}$ puis déterminer $\ell$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie IV : Points de Tchebytchev.}

Soit $n \in \N^*$. On pose, pour tout $k\in\ll1,n\rr$, $\displaystyle \alpha_k = \cos\left( \frac{k \pi}{n}\right)$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{19}
\item Justifier, pour tout polynôme $P$, l’existence du réel $M_P = \displaystyle \max_{x\in[-1,1]} |P(x)|$.
\item Calculer $M_{T_n}$.
\end{enumerate}

On considère dans toute la suite un polynôme $P\in\R_n[X]$ \textbf{dont le coefficient dominant vaut $1$.} On suppose que \[ M_P < \frac{1}{2^{n-1}}.\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{21}
\item Simplifier, pour tout $k\in\ll 0,n\rr$, $T_n(\alpha_k)$ et déterminer le signe de $\displaystyle P(\alpha_k) - \frac{1}{2^{n-1}} T_n(\alpha_k)$.
\item Montrer que $P-\frac{1}{2^{n-1}} T_n$ a au moins $n$ racines.
\item Conclure à une contradiction (on rappelle que le coefficient dominant de $T_n$ est $2^{n-1}$).
\item Quelle est la borne inférieure des valeurs $M_P$ lorsque P décrit l’ensemble des polynômes unitaires de degré n ? Est-ce un minimum ?
\end{enumerate}

\textit{Cette dernière partie signifie que pour \og bien \fg{} approximer une fonction sur $[-1,1]$ par un polynôme d'interpolation, il vaut mieux interpoler la fonction en les points $x_k$.}

\end{document}