
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz}
\usepackage{etex}   

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=black,
pdftitle={PCSI - DS2}, pdfauthor={L. Pater}}

\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}

%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\th}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 
\renewcommand{\arg}{\mathop{\mathrm{arg}}\nolimits} 

%----- Structure des exercices ------

\newcommand{\exercice}[1]{\video{0}}
\newcommand{\noindication}{}
\newcommand{\nocorrection}{}

\newcounter{exo}
\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\qenonce}[1]{{\bf Questions de cours}\ \  #1\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finexercice}{\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}}

\newcounter{pb}
\newcommand{\pb}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Problème}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

%----- Presentation ------

\setlength{\parindent}{0cm}

\definecolor{myred}{rgb}{0.93,0.26,0}
\definecolor{myorange}{rgb}{0.97,0.58,0}
\definecolor{myyellow}{rgb}{1,0.86,0}

% qrcode  
\usepackage{auto-pst-pdf,pst-barcode}
\usepackage{xstring}

% titre
\newcommand{\titre}[1]{%
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} \hypersetup{linkcolor=black, urlcolor=black} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline 
\hypersetup{linkcolor=blue, urlcolor=blue}  {\Large \bf #1} \newline 
 \rule{17cm}{1mm} \vspace*{3ex}}

%----- Commandes supplementaires ------

\usepackage{graphics}
\usepackage[all]{xy}
\pagestyle{empty}


\begin{document}

\titre{DS 5 \hfill 22/01/2015}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours, 2 exercices et un problème indépendants.

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Donner la définition d'une matrice inversible ainsi que deux critères d'inversibilité.
\item Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $0$. Donner un équivalent de $\sin u_n$, $\tan u_n$, $\ln (1+u_n)$ et $(1+u_n)^\alpha-1$ lorsque $\alpha \in \R^*$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textit{: Suites récurrentes et matrices}}

On pose $a_0 = b_0 = c_0 = 1$. On définit par récurrence, pour $n\in \N$, les suites $(a_n)_{n \in \N}$, $(b_n)_{n \in \N}$ et $(c_n)_{n \in \N}$ par : $$\left\{\begin{array}{rcl} a_{n+1}& = & a_n - 2\,c_n \\
b_{n+1} & = & a_n + 3\,b_n + c_n \\
c_{n+1} & = & a_n  +4\, c_n
\end{array}\right. .$$ On note, pour tout $n \in \N$, $X_n$ la matrice colonne donnée par : $$X_n = \begin{pmatrix}
a_n \\
b_n \\
c_n
\end{pmatrix}.$$

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1,b_1,c_1$. Que valent $X_0$ et $X_1$ ?
\item On considère $J = \begin{pmatrix}
-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2
\end{pmatrix}$. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire $J^n$ pour tout $n \in \N$.
\item Montrer que pour tout $n\in\N$, $X_{n+1} = A\,X_n$ où $A$ est une matrice de $\mathscr M_3(\R)$ à déterminer.
\item Montrer que $A = 2\,I_3 + J$.
%\item Calculer $J^2$.
\item Montrer, par récurrence sur $n\in\N$, que $X_n=A^n \,X_0$ et que \[ A^n = 2^n\, I_3 + (3^n - 2^n)\,J\]
\item Conclure que pour tout $n\in\N$ : $$\left\{\begin{array}{rcl} a_{n}& = & 2^n - 3\,(3^n - 2^n) = 2^{n+2} - 3^{n+1} \\
b_{n} & = & 2^n + 3\,(3^n - 2^n) = 3^{n+1} - 2^{n+1} \\
c_{n} & = & 2^n + 3\,(3^n - 2^n) = 3^{n+1} - 2^{n+1}
\end{array}\right.$$
\item  Résoudre le système linéaire $$(S)\left\{\begin{array}{rcl} x - 2\,z& = & 0 \\
x+3\,y+z & = & 0 \\
x+4\,z & = & 0
\end{array}\right. .$$
\item Déduire de la question précédente que $A$ est inversible et déterminer l'inverse de $A$.
\item On considère dans cette question et la suivante que $a_0,b_0,c_0$ sont quelconques. Si $a_1=b_1=c_1=1$, que valent $a_0,b_0,c_0$ (on pourra se souvenir que $X_1 = A\,X_0$).
\item De façon plus générale, si pour un entier $n \in \N$, $a_n=b_n=c_n=1$, que valent $a_0,b_0,c_0$.
\end{enumerate}

\textit{De telles suites sont utilisées en économie et sont appelées séries chronologiques.}

\finexercice

\enonce{000104}{\textit{: Inégalité arithmético-géométrique (adapté CCP PC)}}

\textbf{Convexité}

Soit $a,b \in \R$ avec $a < b$. On veut montrer que pour tout $t\in[0,1]$ : \begin{equation} e^{t\,a + (1-t)\, b} \leq t\,e^a + (1-t)\, e^b.\label{t}\end{equation} On pose pour tout $t \in [0,1]$, $g(t) =  t\,e^a + (1-t)\, e^b - e^{t\,a + (1-t)\, b}$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
\item Montrer, en étudiant rapidement $x \mapsto e^x - (1+x)$, que pour tout $x \in \R$, $e^x \geq 1+x$.
\item Justifier $g$ est dérivable deux fois sur $[0,1]$ et que pour tout $t\in[0,1]$, $g'(t) = e^a - e^b - (a-b) \,  e^{t\,a + (1-t)\, b}$. Calculer également $g''$ (on rappelle que $a$ et $b$ sont \textbf{fixés}).
\item En déduire que $g'$ est strictement décroissante sur $[0,1]$.
\item Montrer, avec la question 1, que $ g'(0) = e^b\big(e^{a-b} - 1 -(a-b)\big) >0$ et déterminer aussi le signe de $g'(1)$.
\item Justifier, en citant le théorème utilisé, qu'il existe un unique réel $\alpha \in [0,1]$ tel que $g'(\alpha) = 0$.
\item Construire un tableau sur $[0,1]$ faisant apparaître $\alpha$, le signe de $g''$, les variations de $g'$, le signe de $g'$ et les variations de $g$.
\item Calculer $g(0)$ et $g(1)$ puis conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Inégalité arithmético-géométrique}

On souhaite montrer que pour tout $n \in \N$, $n \geq 2$, et tous $x_1,\dots,x_n \in \R$ :\begin{equation} e^{\textstyle \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}} \leq \frac{1}{n}\,\left(e^{x_1} + \cdots + e^{x_n}\right).\label{tt}\end{equation}

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{7}
\item En appliquant \eqref{t} pour $t = \frac{1}{2}$, montrer le résultat demandé pour $n = 2$.
\item Montrer le résultat~\eqref{tt} par récurrence. Pour montrer que pour $n \in \N$, $n \geq 2$ et $x_1,\dots,x_{n+1} \in \R$,  \[e^{\frac{n}{n+1}\left[\textstyle \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right] + \frac{x_{n+1}}{n+1}} \leq \frac{n}{n+1}\,e^{\textstyle \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}} + \frac{1}{n+1}\,e^{x_{n+1}},\] on pourra utiliser le résultat~\eqref{t} avec $t = \frac{n}{n+1}$.
\item \textit{Application :} Montrer que pour tout $n \in \N$, $n \geq 2$ et $a_1, \dots ,a_n \in \R^{+,*}$, \[ \left( a_1 \times \cdots \times a_n\right)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}.\]
\end{enumerate}

\finexercice

\pb{0}{\textit{\'Etude de $u_{n+1} = \sin u_n$ (adapté divers concours PSI)}}

\noindent \textbf{Partie I : Une limite}

Soit $x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]$. On souhaite montrer dans cette première partie que \[ x-\frac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\] pour déterminer $\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac{(x-t)^5}{120}$ est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\R$ et calculer $\varphi'$, $\varphi''$, $\varphi'''$, $\varphi^{(4)}$ et $\varphi^{(5)}$ (on prendra garde au fait que $x$ est \textbf{fixé}).
\item En effectuant deux intégrations par parties, montrer que : \[\int_0^x \frac{(x-t)^3}{6} \, \sin t \text{d}t = \left[ \frac{(x-t)^3}{6} \, (-\cos t)\right]_0^x - \int_0^x \frac{(x-t)^2}{2} \, \cos t \text{d}t = \frac{x^3}{6} - \left[ \frac{(x-t)^2}{2} \sin t\right]_0^x - \int_0^x (x-t) \, \sin t \text{d}t.\]
\item En déduire que \[ \int_0^x \frac{(x-t)^3}{6} \, \sin t \text{d}t = \frac{x^3}{6}-x + \int_0^x \cos t \text{d}t.\]
\item Justifier le signe de l'intégrale de gauche de l'égalité précédente.
\item Conclure que \[ x-\frac{x^3}{6} \leq \sin x.\]
\item En réemployant les techniques des quatre questions précédentes, montrer que $\displaystyle \sin x \leq x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$.
\item En justifiant l'inégalité, pour $x \in \left] 0,\frac{\pi}{2}\right]$, \[ -\frac{1}{6} \leq \frac{\sin x - x}{x^3} \leq -\frac{1}{6}+\frac{x^2}{120},\] déterminer, en citant précisément le ou les théorèmes utilisés, l'existence et la valeur de \[\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}.\]
\end{enumerate}

\smallskip

\noindent \textbf{Partie II : Une suite récurrente}
On souhaite étudier la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par récurrence par $u_0 \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ et pour tout $n \in \N$ : $$u_{n+1} = \sin (u_n).$$
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7}
\item Montrer que, pour tout $x \in  \left]0,\frac{\pi}{2}\right]$, $ \sin x \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right]$.
\item Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $u_n \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right]$.
\item En justifiant que pour $x \in  \left]0,\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin x < x$ montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est strictement décroissante.
\item En précisant le théorème utilisé, montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite que l'on notera $\ell$ et que l'on calcule ensuite.
\item Donner un encadrement de $\ell$ et justifier que $\sin(\ell) = \ell$ 
\item Conclure que $\ell = 0$ (on pourra raisonner par l'absurde en supposant que $\ell >0$).
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie III : Détermination d'un équivalent de la suite}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{13}
\item Montrer que $ u_{n+1} = \sin(u_n) \sim  u_n$ et justifier précisément que $u_{n+1} + u_n \sim 2 \, u_n$. 
\item Déduire de la question précédente que $$ \displaystyle \frac{1}{u_{n+1}^2} - \displaystyle \frac{1}{u_{n}^2} = \frac{(u_{n+1}+u_n)(u_n - u_{n+1})}{u_{n+1}^2\,u_n^2} \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} }{\sim} 2 \,\frac{u_n - \sin(u_n)}{u_n^3}$$ et déduire du résultat de la partie I la limite de cette quantité.
\end{enumerate}
On admet le théorème de Ces\`aro (fait dans le TD sur les suites) : si $(v_n)_{n\in\N}$ est une suite convergente de limite~$\ell$ alors la suite $(w_n)_{n\in\N^*}$ donnée pour $n\in\N^*$ par : $$w_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} v_k$$ est convergente de limite $\ell$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{15}
\item Montrer l'existence et la valeur de $\displaystyle \lim \limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{u_{k+1}^2} - \displaystyle \frac{1}{u_{k}^2}\right) = \frac{1}{3}.$
\item En déduire que $$ \frac{1}{n\,u_n^2} \underset{ { n \rightarrow +\infty } {} }{\sim} \frac{1}{3}$$ et donner un équivalent simple de $(u_n)_{n \in \N}$.
\item Démontrer le théorème de Cesàro admis dans l'énoncé.
\end{enumerate}

\finexercice

\end{document}