
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%----- Structure des exercices ------

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%----- Presentation ------

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%----- Commandes supplementaires ------

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\begin{document}

\titre{DS 4 \hfill 12/12/2014}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours, 3 exercices et un problème indépendants.

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire, pour deux fonctions $f,g$ de classe $\C^1$ sur un intervalle $[a,b]$, la formule d'intégration par parties.
\item Une suite décroissante peut-elle ne pas avoir de limite (on pourra citer le théorème de la limite monotone pour une suite décroissante pour justifier sa réponse) ?
\item Donner, sans démonstration, l'ensemble des solutions (en réel) de l'équation différentielle $y''+y=0$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: \'Equation de Bernoulli}}

Le but de l'exercice est de résoudre, en supposant que $z$ est une fonction de classe~$\mathscr C^1$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]0,+\infty[$, le problème de Cauchy d'inconnue $z$ : \[\mathscr P\left\{ \begin{array}{l}
z' + \displaystyle \frac{2}{x}\,z +x^3\,z^2 = 0 \quad \text{sur $]0,+\infty[$}, \\
z(1) = 2.
\end{array}\right.\]

Ce problème n'est pas de la forme du cours et on étudie d'abord une autre équation différentielle pour le résoudre. On pose dans la suite $I = ]0,+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant son existence, une primitive $A$ sur $I$ de $a : x \mapsto \displaystyle-\frac{2}{x}$.
%\item Simplifier, pour $x \in I$ : $e^{-A(x)}$.
\item Déterminer ainsi l'ensemble des solutions de l'équation différentielle d'inconnue $y$ : \[y' - \displaystyle\frac{2}{x}\,y = x^3 \quad \text{sur $I$}. \]
\item En déduire que l'unique solution du problème de Cauchy \[\mathscr P_0\left\{ \begin{array}{l}
y' - \displaystyle\frac{2}{x}\,y = x^3 \quad \text{sur $]0,+\infty[$}, \\
y(1) = \displaystyle\frac{1}{2}.
\end{array}\right.\] est la fonction $y : x \mapsto \frac{x^4}{2}$.
\item Soit $z$ une solution de $\mathscr P$ ne s'annulant pas sur $I$, on pose $y = \displaystyle\frac{1}{z}$. Justifier que $y$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $I$ et que $y$ est solution de $\mathscr P_0$.
\item Déterminer l'unique solution de $\mathscr P$ sur $I$. 
\item Cette solution est-elle bornée sur $I$ ?
\end{enumerate}

\textit{Les équations différentielles de Bernoulli, comme dans $\mathscr P$, régissent notamment des potentiels en mécanique.}

\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une étude de suite récurrente}}

On pose $u_0 = -3$. On définit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ par récurrence : pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1} = 2-u_n^2.\] On considère la fonction $f : x \mapsto 2 - x^2$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est paire et établir le tableau des variations de $f$.
\item Justifier que $f$ réalise une bijection de $]-\infty,-2[$ sur un intervalle que l'on déterminera.
\item Montrer que si la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente vers une limite $\ell$ alors $\ell = 2 - \ell^2$. Quelles sont les limites possibles de $(u_n)_{n\in\N}$ dans ce cas ?
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ : $u_n \leq -3$.
\item Montrer que pour tout $x \in ]-\infty,-2[$ : $f(x) < x$.
\item En déduire que $(u_n)$ est décroissante.
\item Conclure quant à la limite de $(u_n)$ (on pourra utiliser la question 3 et la seconde question de cours).
\end{enumerate}

On suppose dans la deux question suivante de façon plus générale que $u_0 < -2$ ou que $u_0 >2$. 

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{7}
%\item Donner un encadrement de $u_1$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n <-2$ et déterminer la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}

On suppose dans les deux questions suivantes que $u_0 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{8}
\item Déterminer, pour tout $n \in \N$, $u_{2\,n}$ et $u_{2\,n+1}$ (on pourra calculer $u_2,u_3,u_4,u_5$ pour conjecturer le résultat).
\item La suite $(u_n)$ est-elle convergente dans ce cas ?
\end{enumerate}

\textit{Cet exercice est une étude de système dynamique qui a des comportements différents selon la valeur de $u_0$.}

\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une étude de suite implicite}}

Soit $n \in \N$. On considère, pour tout $n \in \N^*$, la fonction $\varphi_n$ : \[\varphi_n(x) = x^5 +n\,x -1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer, pour $n \in \N^*$, le domaine de définition de $\varphi_n$ et le tableau des variations de $\varphi_n$.
\item Calculer, pour $n \in \N^*$, $\varphi_n(0)$ et $\varphi_n(1)$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe un unique réel $x_n\in [0,1[$ tel que $\varphi_n(x_n) = 0$.
\end{enumerate}

La question précédente permet ainsi de définir la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3}
\item Soit $n  \in \N^*$. Que valent $\varphi_n(x_n)$ et $\varphi_{n+1}(x_{n+1})$ ? Simplifier $\varphi_{n+1}(x_n)$.
\item Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\varphi_{n+1}(x_n)\geq \varphi_{n+1}(x_{n+1})$. En déduire la monotonie de la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$.
\item Montrer que $(x_n)_{n\in\N^*}$ est minorée puis que $(x_n)_{n\in\N^*}$ est convergente vers une limite $\ell\in [0,1]$.
\item Supposons que $\ell >0$. En déterminant les limites de $(x_n^5 - 1)_{n\in\N^*}$ et de $(-n\,x_n)_{n\in\N^*}$, aboutir à une contradiction. En déduire la limite de $(x_n)_{n\in\N^*}$.
\item En utilisant la définition de la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$, montrer que $x_n \sim \displaystyle \frac{1}{n}$. 
\item Montrer de plus que : \[ x_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^6} + o \left( \frac{1}{n^6}\right).\]
\end{enumerate}

\finexercice

\newpage

\pb{0}{\textbf{: Suites d'intégrales et irrationalité de $\ln 2$.}}

\noindent \textbf{Partie I : Une expression de $\ln 2$.}

On pose, pour tout $ n\in \N$ : \[ I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \ \text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n$ est bien définie.
\item Calculer $I_0$ et $I_1$ (pour $I_1$, on pourra déterminer un réel $A$ tel que pour tout $t\in[0,1]$ : $\frac{t}{1+t} = 1-\frac{A}{1+t}$).
\item En faisant le changement de variable $y = 1+t$, montrer que \[ I_2 = \int_1^2 (y-2 +\frac{1}{y}) \ \text{d}y\] puis la valeur de $I_2$.
\item Montrer, en justifiant, que pour tout $t \in \R \setminus \{ -1\}$ et $n \in \N$, \[ \sum_{k=0}^n (-t)^k = \frac{1- (-t)^{n+1}}{1+t}.\]
\item En déduire que pour tout $n \in \N$ : \[\sum_{k=0}^n (-1)^k \int_0^1 t^k \ \text{d}t = \int_0^1 \frac{\text{d}t}{1+t} - (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{1+t} \ \text{d}t.\] 
\item Conclure que pour tout $n \in \N$ : \[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} = \ln 2 - (-1)^{n+1} I_{n+1}\]
\item Soit $n \in \N$. Montrer que pour tout $t \in [0,1]$ : $0\leq \displaystyle \frac{t^{n+1}}{1+t} \leq t^{n+1}$ pour en déduire l'encadrement \[ 0 \leq I_{n+1} \leq \frac{1}{n+2}.\]
\item Justifier la suite $(I_{n+1})_{n\in\N}$ est convergente et déterminer sa limite.
\item Conclure en montrant que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie, pour $n \in \N$ : \[u_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}\] est convergente et déterminer sa limite.  
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie II : Développement en série entière du logarithme.}

Cette partie, plus difficile, généralise le résultat précédent. On pourra s'inspirer des questions précédentes pour les résoudre. Soit $x \in ]0,1]$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{9}
\item Soit $n \in \N$. En utilisant la somme, pour $t \in ]0,+\infty[$ : $\displaystyle \sum_{k=0}^n (-x\,t)^k$, montrer que \[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}\,x^k = \int_0^1 \frac{\text{d}t}{1+x\,t} - (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{(x\,t)^{n+1}}{1+x\,t} \ \text{d}t\]
\item En faisant par exemple le changement de variable $y = x\,t$, montrer que \[ \int_0^1 \frac{\text{d}t}{1+x\,t} = \frac{\ln (1+x)}{x}.\]
\item Montrer l'encadrement, pour $n \in \N$ :  $0\leq \displaystyle \int_0^1 \frac{(x\,t)^{n+1}}{1+x\,t} \ \text{d}t \leq \frac{1}{n+2}$.
\item Conclure, en justifiant les existences que \[ \lim \limits_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}\,x^{k+1} = \ln(1+x).\]
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie III : Irrationalité de $\ln 2$.}

On veut montrer que $\ln 2$ est irrationnel en raisonnant par l'absurde. Comme $\ln 2>0$, on suppose donc qu'il existe $p,q\in\N^*$ tels que \[ \ln 2 =\frac{p}{q}.\]

On pose, pour tout $n \in \N$ : \[ J_n = \frac{1}{n!}\int_{-1}^1 (1-t^2)^n\, e^{t\,\ln 2} \text{d}t.\]

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{13}
\item Calculer $J_0$ et $J_1$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $J_n > 0$.
\item En encadrant la fonction dans l'intégrale de $J_n$, montrer que pour tout $D\in\R$, $D^n\,J_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0$.
\item Démontrer que pour tout $n \in \N$ : \[ J_{n+2} = \frac{4\,q^2}{p^2}\,J_n -\frac{(4\,n+6)\,q^2}{p^2}\,J_{n+1}.\]
\item Montrer que pour tout entier $n \in \N$, il existe une fonction polynomiale à coefficients entiers $A_n$ tel que : \[ J_n = \left(\frac{q}{p}\right)^{2\,n+1}\,\left[ 2\,A_n\left( \frac{p}{q}\right) - \frac{1}{2}\,A_n\left( -\frac{p}{q}\right)\right].\]
\item Montrer que si $D = 2\,p^3$, pour tout $n \in \N^*$ : $D^n\,J_n \in \N^*$.
\item À l'aide de la question précédente et de la question 16, conclure quant à l'irrationalité de $\ln 2$.
\end{enumerate}

\finexercice

\end{document}