
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz}
\usepackage{etex}   

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=black,
pdftitle={PCSI - DS2}, pdfauthor={L. Pater}}

\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}

%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\th}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 
\renewcommand{\arg}{\mathop{\mathrm{arg}}\nolimits} 

%----- Structure des exercices ------

\newcommand{\exercice}[1]{\video{0}}
\newcommand{\noindication}{}
\newcommand{\nocorrection}{}

\newcounter{exo}
\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\qenonce}[1]{{\bf Questions de cours}\ \  #1\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finexercice}{\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}}

\newcounter{pb}
\newcommand{\pb}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Problème}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

%----- Presentation ------

\setlength{\parindent}{0cm}

\definecolor{myred}{rgb}{0.93,0.26,0}
\definecolor{myorange}{rgb}{0.97,0.58,0}
\definecolor{myyellow}{rgb}{1,0.86,0}

% qrcode  
\usepackage{auto-pst-pdf,pst-barcode}
\usepackage{xstring}

% titre
\newcommand{\titre}[1]{%
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} \hypersetup{linkcolor=black, urlcolor=black} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline 
\hypersetup{linkcolor=blue, urlcolor=blue}  {\Large \bf #1} \newline 
 \rule{17cm}{1mm} \vspace*{3ex}}

%----- Commandes supplementaires ------

\usepackage{graphics}
\usepackage[all]{xy}
\pagestyle{empty}


\begin{document}

\titre{DS 3 \hfill 15/11/2014}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours, 2 exercices et un problème indépendants.

\bigskip

Dans tout le devoir, le plan complexe est rapporté un repère orthonormé $(O,\vec u, \vec v)$.

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Soit $z\in\C$ et $n\in \N^*$. Donner, en distinguant le cas $z=1$ et $z\neq 1$, l'expression de $\displaystyle \sum_{k=0}^n z^k$.
\item Pour $a,b\in\R$, donner la formule de $\cos(a+b)$.
\item Soit $n\in\N^*$. Quelles sont les solutions de l'équation d'inconnue $z \in \C$ : $z^n = 1$ ?
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une équation trigonométrique}}



On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ 1-\cos(x) + \cos (2\,x) = 0.\label{eqtrig} \tag{E}\]

\begin{enumerate}
\item On considère $f : x \mapsto 1-\cos(x) + \cos (2\,x)$. Montrer que la fonction $f$ est $2\,\pi$-périodique. Si on résout~\eqref{eqtrig} pour $x\in ]-\pi,\pi]$, comment obtient-t-on toutes les solutions sur $\R$ ?
\item Linéariser, pour $x \in \R$, $\cos^2 x$. En déduire une réécriture de l'équation~\eqref{eqtrig}.
\item Montrer que $x$ est solution de \eqref{eqtrig} si et seulement si \[ \cos x = 0 \quad \text{ou} \quad \cos x = \frac{1}{2}.\]
\item En déduire les solutions de \eqref{eqtrig} pour $x\in ]-\pi,\pi]$.
\item Résoudre finalement \eqref{eqtrig} pour $x\in \R$.
\end{enumerate}

Soit $n \in \N^*$. On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ 1-\cos(x) + \cos (2\,x) - \cdots + \cos(2\,n\,x) = 0.\label{eqtrig1} \tag{E'}\] qui peut s'écrire : \[ \sum_{k=0}^{2\,n} (-1)^k\,\cos(k\,x) = 0.\label{eqtrig2} \tag{E'}\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5}
\item En justifiant que pour tout $k\in \llbracket 0,2\,n \rrbracket$, $\cos(k\,\pi) = (-1)^k$, montrer que $x = \pi$ n'est pas solution de \eqref{eqtrig2}.
\item Montrer qu'il suffit de résoudre \eqref{eqtrig2} pour $x\in ]-\pi,\pi[$. 
\item Démontrer les trois égalités, pour $x \in ]-\pi,\pi[$ : \[ \sum_{k=0}^{2\,n} (-1)^k e^{i\,k\,x} = \sum_{k=0}^{2\,n} \left(- e^{i\,x}\right)^k \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^{2\,n} \left(-e^{i\,x}\right)^k = \frac{\left(-e^{i\,x}\right)^{2\,n+1}-1}{-e^{i\,x}-1} = \frac{e^{i\,(2\,n+1)\,x}+1}{e^{i\,x}+1}.\]
\item En déduire que pour tout $x\in ]-\pi,\pi[$ :\[ \sum_{k=0}^{2\,n} (-1)^k e^{i\,k\,x}= e^{i\,n\,x}\frac{\cos\left(\frac{2\,n+1}{2}x\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}\]
\item Montrer que $x\in ]-\pi,\pi[$ est solution de \eqref{eqtrig2} si et seulement si \[ \cos \left(n\,x\right) = 0 \quad \text{ou} \quad \cos\left(\frac{2\,n+1}{2}x\right)=0.\]
\item Résoudre finalement \eqref{eqtrig2} pour $x\in ]-\pi,\pi[$ puis pour $x\in\R$. Est-ce cohérent avec la question 5 ?
\end{enumerate}

\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Géométrie du triangle}}

On considère trois points du plan complexe distincts $A,B,C$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ d'affixes respectifs $a,b,c$ et on pose \[ j = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $j$ sous forme exponentielle. Que vaut $1+j+j^2$ ? Que valent $\left|\frac{b}{a}\right|$ et $\left|\frac{c}{a}\right|$ ?
\item Que représentent géométriquement $\arg\left(\frac{b}{a}\right)$  et $\arg\left(\frac{c}{a}\right)$?
\item On suppose uniquement dans cette question que $a=1$, $b = j$ et $c = \overline{j}$. Faire un dessin et déterminer la nature du triangle $ABC$ (on pourra conjecturer sur le dessin puis on fera une démonstration).
\item Montrer que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) \equiv \frac{2\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$ si seulement si $b = j\,a$
\item Déterminer également une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $c$ pour que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}) \equiv \frac{4\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$.
\item Justifier que le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si l'une des deux conditions est réalisée \begin{enumerate}
\item[(i)] $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) \equiv \frac{2\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$ et $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}) \equiv \frac{4\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$;
\item[(ii)] $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}) \equiv \frac{2\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$ et $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) \equiv \frac{4\,\pi}{3}\,[2\,\pi]$.
\end{enumerate}
\item En déduire que si $ABC$ est équilatéral alors $a+b+c=0$.
\item Montrer qu'en fait $ABC$ est équilatéral si et seulement si $a+b+c=0$.
\end{enumerate}
\finexercice

\pb{0}{\textbf{: Méthode de Cardan et théorème de d'Alembert-Gauss pour le degré 3.}}

\smallskip

Ce problème est consacré à l'étude générale des équations polynomiales de degré 3 d'inconnue $z \in \C$ :

\[ z^3 + a\,z^2+b\,z+c = 0\label{cardan}\tag{E}\]

où $a,b,c\in\R$.

\smallskip

\textbf{Premier cas particulier : $a = b=0$ et $c = -27$.}

On souhaite ici résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$ : $z^3 = 27$ \ ($E_1$).

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{0}
\item Déterminer $z_0$ tel que $z_0^3 = 27$.
\item En déduire que résoudre l'équation ($E_1$) revient à résoudre l'équation d'inconnue $z\in\C$ : \[\left( \frac{z}{z_0}\right)^3 = 1.\]
\item Déterminer finalement les solutions de l'équation ($E_1$). Combien y en a-t-il ?
\end{enumerate}

\textbf{Second cas particulier : $a=0$, $b= -18$, $c=-35$.}

On souhaite ici résoudre l'équation d'inconnue $z\in\C$ : \[ z^3-18\,z-35 = 0.\label{cardan1}\tag{E2}\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item Montrer que $-6\sqrt{6} + 18 \sqrt{6} -35 <0$. $-\sqrt{6}$ est-elle une solution ?
\item Montrer que~\eqref{cardan1} a une unique solution réelle (prendre $z=x \in \R$ et étudier une fonction).
\end{enumerate}
On suppose que dans l'équation \eqref{cardan1}, il existe $u,v\in\C$ tels que $z=u+v$ et $u\,v=6$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Simplifier $u^2\,v$ et $u\,v^2$.
\item En déduire que $u^3 + v^3 = 35$ (prendre $z=u+v$ dans l'équation \eqref{cardan1} et développer). Que vaut $u^3\,v^3$ ? 
\item En développant, pour $X\in\C$, $(X-u^3)\,(X-v^3)$, montrer que $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de l'équation d'inconnue $X\in\C$ : \[ X^2 - 35\,X+216 =0.\]
\item En déduire les valeurs possibles pour $u^3$ et $v^3$ (remarquer que $19^2 = 361$).
\item Déterminer les valeurs possibles pour $u$ et $v$ (attention $u,v\in\C$ et $u\,v \in\R^+$).
\item En admettant que \eqref{cardan1} possède au plus trois racines complexes distinctes, résoudre complètement \eqref{cardan1}.
\end{enumerate}

\textbf{Théorème de d'Alembert-Gauss pour le degré 3 dans le cas réel.}

On démontre ici un analogue du théorème pour les trinômes du second degré mais pour le degré 3 sans donner la forme des solutions: la forme des solutions est l'objet de la partie suivante.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{12}
\item Montrer que l'équation~\eqref{cardan} a au moins une solution réelle que l'on notera $\alpha$.
\item Montrer que si $\alpha \neq 0$, $\alpha^2+a\,\alpha+b = \frac{-c}{\alpha}$.
\item En déduire que l'équation \eqref{cardan} se réécrit \[ (z-\alpha)\,(a'\,z^2+b'\,z+c') = 0\] où on donnera une expression de $a',b',c'$ en fonction de $a,b,c$.
\item Conclure qu'on a nécessairement un des quatre cas suivants : \begin{enumerate}
\item[(i)] \eqref{cardan} admet une unique racine réelle triple;
\item[(ii)] \eqref{cardan} admet une unique racine réelle et deux racines complexes conjuguées;
\item[(iii)] \eqref{cardan} admet deux racines réelles distinctes (dont une double);
\item[(iv)] \eqref{cardan} admet trois racines réelles distinctes.\end{enumerate}
%\item L'application de $\C$ dans $\C$ : $z \mapsto z^3 + a\,z^2+b\,z+c$ est-elle surjective ? Injective (distinguer des cas) ?
\end{enumerate}

\textbf{Cas général : méthode de Cardan.}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{16}
\item Montrer qu'on peut ramener l'équation \eqref{cardan}, en posant $z=Z-\frac{a}{3}$ à la résolution de \[ Z^3+p\,Z+q = 0\label{cardan2}\tag{E'}\] où $p= \frac{-a^2}{3}+b$ et $q = \frac{a}{27}(2\,a^2-9\,b)+c$. On résout désormais cette équation.
\item Montrer que si $Z \in \C$, on peut choisir $u,v \in \C$ tels que $Z=u+v$ et $u\,v = -\frac{p}{3}$.
\item En déduire que $u^3+v^3 = -q$.
\item Conclure, en s'inspirant de la question 5, que $u$ et $v$ sont les racines de l'équation d'inconnue $X\in\C$ : \[ X^2 +q\,X-\frac{p^3}{27}=0.\] 
\end{enumerate}
On suppose que le discriminant $\Delta$ de cette dernière équation vérifie $\Delta >0$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{20}
\item  Déterminer les valeurs possibles pour $u^3$ et $v^3$. On exprimera $\Delta$ en fonction de $p$ et $q$ puis $u^3$ et $v^3$ en fonction de $\Delta$ et $q$.
\item Justifier que pour tout nombre réel $x_0$, il existe un unique réel $x$ tel que $x^3 = x_0$ qu'on notera $\sqrt[3]{x_0}$. En déduire les valeurs possibles pour $u$ et $v$.
\item Conclure que les solutions de l'équation \eqref{cardan2} sont \begin{equation*}
  \left\{
      \begin{aligned}
        z_1 &=& \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}2} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}{2}}\\
        z_2  &=& j\, \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}2}+\overline{j}\,\sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}{2}}\\
        z_3  &=& j^2\, \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}2}+\overline{j^2}\,\sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}{2}}\\
      \end{aligned}
    \right.
\end{equation*} où on a noté comme dans l'exercice 2 : $j =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\item Traiter également les cas $\Delta =0$ et $\Delta <0$.
\end{enumerate}

\finexercice

\end{document}

