
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%----- Structure des exercices ------

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%----- Presentation ------

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%----- Commandes supplementaires ------

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\begin{document}

\titre{DS 2 \hfill 04/10/2014}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours, 3 exercices et un problème indépendants.

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de la fonction $\arctan$ ainsi que l'expression de sa dérivée.
\item Donner les limites de la fonction $\arctan$ aux bornes de son intervalle de définition.
\item Donner l'ensemble de définition de la fonction $\arccos$ et préciser pour quels intervalles $I$ et $J$, on a, pour tout $x \in I$ et tout $y \in J$ : $y= \cos x \Longleftrightarrow x = \arccos y$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une fonction bornée.}}

On considère la fonction $f : x \mapsto \displaystyle \frac{\sin x}{2-\cos x}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f$, noté $\mathscr D(f)$, et la parité de $f$.
\item Montrer que $f$ est $2\,\pi$-périodique.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur son domaine de définition, exprimer sa dérivée et montrer que pour tout~$x \in \mathscr D(f)$, $f'(x)$ est du signe de $2\,\cos x -1$ (on pourra utiliser la formule pour $\cos^2 + \sin^2 = \cdots$).
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0,\pi]$.
\item Justifier que $f$ est une fonction bornée sur $\mathscr D(f)$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: \'Etude de la fonction $\arccos \circ \cos$.}}

On considère la fonction $f : x  \mapsto \arccos\big( \cos x\big)$.

\begin{enumerate}
\item Rappeler les valeurs de $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et $\cos\left( -\frac{\pi}{4}\right)$. En déduire la valeur de $f(-\frac{\pi}{4})$ (attention : $-\frac{\pi}{4}\notin [0,\pi]$). 
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ (on justifiera la réponse) ?
\item Déterminer la parité de $f$.
\item Montrer qu'il suffit d'étudier $f$ sur $[0,\pi]$ (on utilisera notamment la question précédente).
\item Montrer qu'il existe $a,b \in \R$ tels que pour tout $x\in [0,\pi]$, $f(x) = a\,x+b$ où $a,b$ sont à déterminer.
\item Représenter sur un graphique, en justifiant la construction à l'aide des questions précédentes, la courbe représentative de la fonction $f$.
\item Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$ ainsi que l'expression de sa dérivée sur $\R$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une bijection.}}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $$\frac{x}{1+x^2}< \arctan x.$$
\item Que vaut $\arctan'(0)$ ? Montrer, en utilisant le taux de variation de la fonction $\arctan$ en $0$ que $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1.$$
\end{enumerate}

On considère la fonction $f$ définie par $f(0) = 1$ et pour tout $x\in\R^*$ par $f(x) = \displaystyle \frac{\arctan x}{x}$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, calculer la dérivée de $f$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer, à l'aide de la question 1, le signe de cette dérivée.
\item En déduire que $f$ est une bijection de $[0,+\infty[$ sur un ensemble que l'on déterminera.
\item Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : $\displaystyle \arctan x = \frac{\pi}{4}\,x$.
\end{enumerate}
\finexercice

\pb{0}{\textbf{: Fonctions sigmoïdes}}

\smallskip

\textbf{Fonction tangente hyperbolique}

On définit la fonction tangente hyperbolique, notée $\th$, pour tout $x \in \R$ par : $$\th(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{0}
\item Justifier que $\th$ est définie et dérivable sur $\R$ et calculer sa dérivée (on simplifiera au maximum l'expression de sa dérivée). Déterminer également la parité de $\th$.
\item Déterminer le signe de la dérivée, calculer les limites de $\th$ en $+\infty$ et $-\infty$, dresser le tableau des variations de $\th$ et tracer une allure de la courbe représentative de $\th$.
\end{enumerate}

\textbf{Fonction sigmoïde}


Soit $\lambda \in \R$ un paramètre \textbf{fixé}. On définit la fonction $f_\lambda$ par $$f_\lambda(x) = \frac{1}{1 + e^{-\lambda\,x}}.$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Déterminer le domaine de définition et le domaine de dérivabilité de $f_\lambda$ et calculer sa dérivée.
\item En déduire la monotonie de $f_\lambda$ et calculer les limites de $f_\lambda$ en $+\infty$ et en $-\infty$ (on distinguera trois cas).
\item Montrer que pour tout $x \in \R$ : $$f_\lambda(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\th\left( \frac{\lambda\,x}{2}\right).$$
\item On suppose que $\lambda >0$. Comment déduit-on simplement l'allure de la courbe représentative de $f_\lambda$ à partir de la question 2 ? Quelle symétrie possède-t-elle (on justifiera sa réponse) ? Tracer une allure de cette courbe.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\'Equation différentielle}

Soit $\lambda \in \R$. On appelle équation différentielle une équation faisant intervenir une fonction et ses dérivées et dont les éventuelles solutions sont des\textbf{ fonctions}. Le but de cette partie est de résoudre l'équation différentielle d'inconnue $f$ avec une condition initiale : \begin{equation}f' = \lambda f\,(f-1) \quad \text{et} \quad f(0) = \frac{1}{2}.\tag{E} \label{eq}\end{equation}

On admettra qu'une solution de cette équation est définie sur $\R$ et ne s'annule pas sur $\R$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et ne s'annulant pas sur $\R$. On pose $g = \frac{1}{f}-1$. Montrer que $f$ est solution de~\eqref{eq} si et seulement si $g$ est solution de \begin{equation}g' + \lambda \,g = 0 \quad \text{et} \quad g(0) = 1.\tag{E'} \label{eq1}\end{equation}
\item Montrer que $g$ est solution de l'équation~\eqref{eq1} si et seulement si $g$ est la fonction $$x\mapsto e^{-\lambda\,x}.$$ On pourra étudier la fonction $h : x\mapsto e^{\lambda\,x}\,g(x)$.
\item \`A l'aide de la partie précédente, résoudre complètement l'équation \eqref{eq}.
\end{enumerate}

\textit{Les fonctions sigmoïdes modélisent l'évolution du pH en fonction de la quantité de solution introduite dans le mélange lors d'un titrage acido-basique que vous verrez au cours de l'année en chimie.}

\finexercice

\end{document}

