
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz}
\usepackage{etex}   

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=black,
pdftitle={PCSI - DS1}, pdfauthor={L. Pater}}

\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}

%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 

%----- Structure des exercices ------

\newcommand{\exercice}[1]{\video{0}}
\newcommand{\noindication}{}
\newcommand{\nocorrection}{}

\newcounter{exo}
\newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \  #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\qenonce}[1]{{\bf Questions de cours}\ \  #1\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}}

\newcommand{\finexercice}{\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}}

%----- Presentation ------

\setlength{\parindent}{0cm}

\definecolor{myred}{rgb}{0.93,0.26,0}
\definecolor{myorange}{rgb}{0.97,0.58,0}
\definecolor{myyellow}{rgb}{1,0.86,0}

% qrcode  
\usepackage{auto-pst-pdf,pst-barcode}
\usepackage{xstring}

% titre
\newcommand{\titre}[1]{%
\vspace*{-8ex} \hfill \hspace*{1.5cm} \hypersetup{linkcolor=black, urlcolor=black} 
 \vspace*{-5.7ex}\newline 
\hypersetup{linkcolor=blue, urlcolor=blue}  {\Large \bf #1} \newline 
 \rule{17cm}{1mm} \vspace*{3ex}}

%----- Commandes supplementaires ------

\usepackage{graphics}
\usepackage[all]{xy}
\pagestyle{empty}


\begin{document}

\titre{DS 1 \hfill 12/09/2014}

Vous laisserez une marge en haut sur la première page et sur le côté gauche de votre copie pour les annotations.

\medskip

Cet énoncé comporte une partie questions de cours et 3 exercices indépendants.

\bigskip

\qenonce{}
\begin{enumerate}
\item Donner les ensembles de définition et de dérivabilité ainsi que la dérivée de $\exp$, $\ln$ et racine carrée.
\item \'Enoncer la définition de la valeur absolue d'un réel $x$.
\item \'Enoncer sans démonstration l'inégalité triangulaire pour deux réels $x$ et $y$.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{\textbf{: Une limite}}
Le but de l'exercice est de démontrer l'existence et calculer la valeur de $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}.$$\begin{enumerate}
\item En dressant le tableau des variations de la fonction $f$, définie pour $x \in \R$, par $f(x) = e^x - 1-x$, montrer que pour tout $x \in \R$ : $$1+x\leq e^x.$$ On utilisera notamment la valeur de $f(0)$.
\item On rappelle que pour tout $x \in \R$ : $e^{-x} = \displaystyle \frac{1}{e^x}$. Montrer avec 1. que pour tout $x \in \R$, $1-x \leq e^{-x}$ puis que, pour $x \in ]-\infty,1[$ : $$e^x \leq \frac{1}{1-x}.$$
\item Déduire des deux questions précédentes que pour tout $x \in ]-\infty,1[$ : $$ x \leq e^x - 1 \leq \frac{x}{1-x}.$$
\item En déduire un encadrement, pour $x \in ]0,1[$ puis pour $x \in ]-\infty,0[$ de $\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$.
\item Conclure quant à l'existence et la valeur de $\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}.$
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{: Fonctions hyperboliques}

On définit les fonctions $$\sh(x) = \frac{e^x -e^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \ch(x) = \frac{e^x +e^{-x}}{2}.$$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$.

\begin{enumerate}
\item Quels sont les ensembles de définition de $\ch$ et $\sh$ ? Sur quel ensemble sont-elles continues ? dérivables ?
\item Déterminer les limites de $\ch$ et de $\sh$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
%\item Justifier que $e^x - e^{-x} \geq 0$ si $x \in [0,+\infty[$ et $e^x - e^{-x} \leq 0$ si $x \in ]-\infty,0]$.
\item Exprimer simplement les dérivées de $\ch$ et de $\sh$.
\item Quel est le signe de la fonction $\ch$ ? Donner la valeur de $\sh(0)$. En déduire le tableau des variations de~$\sh$ ainsi que son signe (on indiquera les limites dans le tableau).
\item Construire également le tableau des variations de $\ch$ (on indiquera les limites dans le tableau).
\item Tracer sur un même dessin l'allure des courbes représentatives de $\ch$ et $\sh$.
%\item Simplifier, pour $x \in \R$, l'expression $\ch(x)^2 - \sh(x)^2$.
\end{enumerate}

On considère $\mathscr H$, l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x_M,y_M)$ vérifiant : \begin{equation}
 x_M^2-y_M^2 = 1. \label{equ}
\end{equation}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que l'ensemble $\mathscr H$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et des ordonnées.
\item On considère la fonction $g(x) = \sqrt{x^2-1}$. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de $g$ et calculer sa dérivée.
\item Déterminer la parité de $g$.
\item $g$ est-elle dérivable en $1$ ? On justifiera précisément la réponse.
\item Montrer que $x\mapsto \displaystyle \frac{g(x)}{x}$ et $x \mapsto g(x) - x$ admettent des limites en $+\infty$ que l'on calculera. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $\mathscr C_g$ de $g$ ?
\item Tracer $\mathscr C_g$ et, à l'aide de cette courbe, représenter, en justifiant, l'ensemble $\mathscr H$ sur le même dessin.
\item Soit $t\in \R$. Montrer que si $M$ a pour coordonnées $(\ch(t),\sh(t))$, alors $M \in \mathscr H$ (utiliser l'équation \ref{equ}).
\item Avec les notations de la question précédente, que vaut l'angle $(\vec i, \overrightarrow{OM})$ ?
\item Montrer que pour tout point $M$ de $\mathscr H$, il existe $t_M \in \R$ tel que $M$ a pour coordonnées $(\ch(t_M),\sh(t_M))$.
\item Justifier le titre de l'exercice.
\end{enumerate}
\finexercice

\enonce{000104}{: Fonctions homographiques}

On étudie d'abord un premier exemple dans les questions 1 à 4. On définit la fonction $f$, pour $x\in\R \setminus \{ 2 \}$, par : $$f(x) = \frac{2x-1}{-x+2}.$$

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\R \setminus \{ 2 \}$ est l'ensemble de définition de $f$. Sur quel ensemble $f$ est-elle continue ?
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R \setminus \{ 2 \}$ est calculer sa dérivée. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,2[$ et sur $]2,+\infty[$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, $-\infty$, $2^-$ et $2^+$.
\item Dresser finalement le tableau des variations de $f$ et tracer sa courbe représentative.
%\item Quelle est l'image de $f$ ?
\end{enumerate}

On traite désormais le cas général d'une fonction homographique. On appelle fonction homographique une fonction de la forme $$f_{a,b,c,d}(x) = \frac{a\,x+b}{c\,x+d}$$ où $a,b,c,d$ sont des réels fixés et $c \neq 0$. On considère dans la suite quatre réels $a,b,c,d$ avec $c \neq 0$ et $f_{a,b,c,d}$ une fonction homographique. Par exemple, la fonction $f$ étudiée précédemment est une fonction homographique avec~$a=2,b=-1,c=-1,d=2$.

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4}
\item Déterminer le domaine de définition, noté $\mathscr D(f_{a,b,c,d})$, de $f_{a,b,c,d}$ en fonction de $c$ et $d$.
\item Déterminer les limites de $f_{a,b,c,d}$ en $-\infty$ et en $+\infty$ en fonction de $a,b,c,d$.
\item Justifier que $f_{a,b,c,d}$ est dérivable sur son domaine de définition et montrer que sa dérivée est de la forme : pour tout $x \in \mathscr D(f_{a,b,c,d})$, $$ f'_{a,b,c,d}(x) =  \frac{a\,d - b\,c}{g(x)}$$ où $g$ est une fonction que l'on explicitera.
\item Déterminer la monotonie de $f_{a,b,c,d}$ (on distinguera trois cas).
\item On considérant le cas particulier $a\,d-b\,c >0$, tracer l'allure de la courbe de $f_{a,b,c,d}$ (on placera des points particuliers qui dépendent de $a,b,c,d$).
\item Montrer que la composée de deux fonctions homographiques est une fonction homographique.
\item En supposant que $a\,d-b\,c \neq 0$, déterminer l'expression d'une fonction $g$, dépendant de $a,b,c,d$ telle que, pour tout $x \in \mathscr D(f_{a,b,c,d})$ : $$ g\circ f_{a,b,c,d}(x) = x.$$
\item Montrer que $f_{a,b,c,d}$ réalise une bijection entre $\mathscr D(f_{a,b,c,d})$ et un ensemble que l'on précisera. Exprimer son application réciproque à l'aide de la question précédente.
\end{enumerate}
\finexercice

\end{document}

