\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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\renewcommand{\j}{\text{j}}
\begin{document}

\Titre

\Titre

{\it Le temps imparti pour ce devoir est de~4 heures. Tout document ou mat\'eriel \'electronique est interdit.} \smallskip

{\it La pr\'esentation des copies et la qualit\'e de la r\'edaction seront largement prises en compte dans l'\'evaluation. Sauf mention contraire explicite, toutes vos r\'eponses doivent \^etre soigneusement justifi\'ees. Si vous pensez rep\'erer une erreur d'\'enonc\'e, vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition. Si vous ne parvenez pas \`a r\'esoudre une question, vous pouvez le cas \'ech\'eant admettre le r\'esultat demand\'e et l'utiliser si besoin dans toute question ult\'erieure du m\^eme exercice.} \smallskip

{\it Le devoir est constitu\'e de 4 exercices ind\'ependants. L'\'enonc\'e comporte~\pageref{LastPage} pages. \textbf{Les exercices 1 et 3 doivent \^etre r\'edig\'es sur une copie s\'epar\'ee des exercices 2 et 4 et 5.}}

\begin{exoDS}

Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Factoriser le polyn\^ome~$X^4+X^2+1$ dans~$\C[X]$ puis dans~$\R[X]$.
\item Calculer le développement limité à l'ordre~2 de la fonction~$x\longmapsto \dfrac{\ln(1+x)}{\sin x}$ en~$0$.
\item Montrer que l'application $\Phi:P\longmapsto (P(0),P(1),P(2))$ est un isomorphisme entre les~$\R$-espaces vectoriels $\R_2[X]$ et $\R^3$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
\noindent \textbf{Partie I : Une étude de fonction}


On considère la fonction

\[f : x \mapsto \frac{x - \sin(x)}{x^3}.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est de classe $\mathscr C^{\infty}$ sur son ensemble de définition qu'on déterminera.
\item Montrer que $f$ est prolongeable par continuité sur $\R$. On note à nouveau $f$ ce prolongement.
\item Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi/2]$, $\lvert \sin x \rvert < \lvert x \rvert$. En déduire le signe de $f$ sur $[0,\pi/2]$.
\end{enumerate}

\smallskip

\noindent \textbf{Partie II : Une suite récurrente}

On souhaite étudier la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par récurrence par $u_0 \in ]0,\pi/2]$ et pour tout $n \in \N$ : $$u_{n+1} = \sin (u_n).$$
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $u_n \in ]0,\pi/2]$.
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est strictement décroissante puis qu'elle est convergente vers une limite qu'on notera $\ell$ dont on donnera un encadrement. On note $\ell$ sa limite dans la suite.
\item Montrer que $\ell = 0$ (on pourra raisonner par l'absurde et utiliser la partie précédente).
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie III : Détermination d'un équivalent de la suite}

Dans cette partie, pour déterminer des équivalents, on considère que $n$ tend vers $+\infty$.


\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier les équivalents : $u_{n+1} \sim  u_n$ et $u_{n+1} + u_n \sim 2 u_n$.
\item \label{qq} Déduire de la question précédente que \[\frac{1}{u_{n+1}^2} - \displaystyle \frac{1}{u_{n}^2} \sim 2\frac{u_n - \sin(u_n)}{u_n^3}.\]
\item \label{qq2} Montrer que si $(v_n)_{n\in\N}$ est une suite convergente de limite~$\ell$ alors la suite $(w_n)_{n\in\N^*}$ donnée pour tout $n\in\N^*$ par : $$w_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} v_k$$ est convergente de limite $\ell$. Cette question, délicate, est indépendante du problème et pourra être admise.
\item Montrer que \[\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{u_{k+1}^2} - \displaystyle \frac{1}{u_{k}^2}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1}{3}.\]
\item En déduire que \[\frac{1}{n\,u_n^2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1}{3}\] et donner un équivalent simple de $(u_n)_{n \in \N}$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}

{\it La partie~I de cet exercice est indépendante de la partie~II. La partie~III utilise uniquement les notations de la partie~I et le résultat de la question 10.} \smallskip

Dans tout l'exercice, $\K=\R$ ou~$\C$. Si~$E$ est un~$\K$-espace vectoriel, on rappelle que:
\begin{itemize}
\item la notation~$\id{E}$ d\'esigne l'application identit\'e de~$E$, autrement dit:
$$ \forall u\in E,\; \id{E}(u) = u $$
et~$\id{E}$ est alors un endomorphisme de~$E$;
\item la notation $0_{\mathscr{L}(E)}$ désigne la fonction constante sur~$E$ ayant pour valeur le vecteur nul de~$E$, qui est également un endomorphisme de~$E$.
\item si~$f$ est un endomorphisme de~$E$, on convient que~$f^0$ d\'esigne l'identit\'e et, pour tout~$k\in\N^*$,
$$ f^k = \underset{k \text{ fois}}{\underbrace{f\circ \dots \circ f}} $$
et l'on a alors pour tout~$(k,k')\in\N^2$: $f^{k+k'}=f^k\circ f^{k'}$.
\end{itemize}

\noindent {\bf Partie I - Calcul des it\'er\'ees d'un endomorphisme de~$\R^3$}  \smallskip
\newcounter{question}

Dans cette partie, $E$ est le~$\R$-espace vectoriel~$\R^3$. On note~$\varphi$ l'endomorphisme de~$E$ d\'efini par
\begin{equation} \forall (x,y,z)\in\R^3,\; \varphi\Big((x,y,z)\Big)=(x-y-z,-x+y-z,-x-y+z). \label{varphi} \end{equation}
\begin{enumerate}
\item Calculer~$\varphi\circ \varphi\Big((x,y,z)\Big)$ pour tout~$(x,y,z)\in E$ et en d\'eduire que
\begin{equation} \varphi\circ \varphi = \varphi+2\id{E}. \label{poly} \end{equation}
\item Montrer que, pour tout~$k\in\N$, il existe des r\'eels~$u_k$ et~$v_k$ tels que
$$ \varphi^k = u_k \varphi + v_k \id{E}. $$
On pr\'ecisera les valeurs de~$u_0$ et~$v_0$ et on montrera que:
$$ \forall k\in\N, \; \left\{\begin{array}{l} u_{k+1}=u_k+v_k \\ v_{k+1}=2u_k \end{array}\right.  $$
\item Soit~$k\in\N$. Exprimer $u_{k+2}$ en fonction de~$u_{k+1}$ et~$u_k$.
\item En d\'eduire la valeur de~$u_k$ pour tout~$k\in\N$, ainsi que celle de~$v_k$.
\item \label{puiss} \`A l'aide de la question pr\'ec\'edente, pour tout~$k\in\N$ et~$(x,y,z)\in E$, exprimer $\varphi^k\Big((x,y,z)\Big)$ en fonction de~$(x,y,z)$.
\setcounter{question}{\theenumi}
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent {\bf Partie II - Propri\'et\'es de certains endomorphismes dans un espace vectoriel}
\smallskip

Soit~$E$ un~$\K$-espace vectoriel et~$f\in\mathscr{L}(E)$. On suppose qu'il existe deux scalaires {\bf distincts}~$\lambda,\mu$ tels que
\begin{equation} (f-\lambda\id{E})\circ(f-\mu\id{E})=0_{\mathscr{L}(E)} \label{polybis} \end{equation}
On note $ F = \Big\{ u\in E\,:\, f(u)=\lambda u\Big\}$ et $ G = \Big\{ u\in E\,:\: f(u)=\mu u\Big\}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{\thequestion}
\item \label{sev} Montrer que~$F$ et~$G$ sont des sous-espaces vectoriels de~$E$.
\item Montrer que~$F$ et~$G$ sont en somme directe.
\item \label{fcircf} Exprimer~$f\circ f$ en fonction de~$f$ et de l'identité.
\item Soit~$u\in E$. En raisonnant par analyse-synth\`ese, et en utilisant l'hypothèse~\eqref{polybis} et la question~\ref{fcircf}, montrer qu'il existe~$u_1\in F$ et~$u_2\in G$ tels que~$u=u_1+u_2$.
\item \label{supp} D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que~$F$ et~$G$ sont des sous-espaces vectoriels suppl\'ementaires de~$E$.
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent {\bf Partie III - Retour au calcul des itérées de~$\varphi$}
\smallskip

On reprend dans cette partie les notations de la partie~I: ainsi, $E$ est le~$\R$-espace vectoriel~$\R^3$ et~$\varphi$ est l'endomorphisme de~$E$ défini par l'équation~\eqref{varphi}.
\begin{enumerate}[resume]
\item \`A l'aide de l'\'equation~\eqref{poly}, montrer que~$\varphi$ satisfait l'hypoth\`ese~\eqref{polybis} de la partie~II avec~$\lambda=2$ et~$\mu=-1$.
\end{enumerate}
Comme dans la partie~II, on note~$F$ et~$G$ les ensembles
$$ F = \Big\{u\in\R^3\,:\, \varphi(u)=2u\Big\} \qquad\text{et}\qquad G=\Big\{u\in\R^3\,:\: \varphi(u)=-u\Big\} $$
et les questions~\ref{sev} et~\ref{supp} montrent que~$F$ et~$G$ sont deux sous-espaces vectoriels suppl\'ementaires de~$\R^3$.
\begin{enumerate}[resume]
\item D\'eterminer une \'equation de~$F$ et montrer que les vecteurs $e_1=(1,-1,0)$ et~$e_2=(1,0,-1)$ forment une base de~$F$.
\item Montrer que~$G$ est une droite vectorielle et en d\'eterminer un vecteur directeur~$e_3$.
\item Soit~$u=(x,y,z)\in E$. D\'eterminer des r\'eels~$a,b,c$, que l'on exprimera en fonction de~$x,y,z$, tels~que
$$ u = ae_1+b e_2+ce_3. $$
En déduire que $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de~$E$.
\item En utilisant le fait que~$e_1\in F$, $e_2 \in F$ et~$e_3 \in G$, donner~$\varphi^k(e_1)$, $\varphi^k(e_2)$ et~$\varphi^k(e_3)$ pour tout~$k\in\N$ (on justifiera sa r\'eponse).
\item D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes le calcul de~$\varphi^k\Big((x,y,z)\Big)$ pour tout~$k\in\N$ et $(x,y,z)\in E$. Retrouver ainsi le résultat de la question~\ref{puiss}.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

%\newpage

\begin{exoDS}
Soit $a$ un réel, $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Résoudre, l'équation d'inconnue $z \in \C$ :
\[(z + 1)^n = \e^{2\i na}\]
On déterminera le nombre de solutions de cette équation. On pourra poser $Z = (z+1)/\e^{2\i a}$.
\item Déterminer, en justifiant, le coefficient dominant et le degré du polyn\^ome
$$P(X) = (X + 1)^n - \e^{2\i na}.$$
\item Factoriser, dans $\C[X]$, le polyn\^ome $P(X) = (X + 1)^n - \e^{2\i na}$.
\item Déterminer, en calculant $P(0)$, un expression simple de
\[\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(a + \frac{k\pi}{n}\right).\]
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant
indiscernables au toucher.\newline
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée,
on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec $c$ boules de la couleur
de la boule tirée (où $c$ désigne un entier naturel non nul). On répète
cette épreuve, on réalise ainsi une succession de $n$ tirages ($n\geqslant 2$%
).\newline
On considère les variables aléatoires $\left( X_{i}\right) _{1\leqslant
i\leqslant n}$ définies par :
\begin{equation*}
\begin{cases}
X_{i}=1 & \text{si on obtient une boule blanche au }i^{\grave{e}me}\text{
tirage.} \\
X_{i}=0 & \text{sinon.}%
\end{cases}%
\end{equation*}%
On définit alors, pour $2\leqslant p\leqslant n$, la variable aléatoire $Z_{p}$ qui désigne le nombre de boules blanches obtenues lors des $p$ premiers tirages.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X_1$ (on justifiera sa réponse) et donner sans calcul son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
On considère dans la suite un entier naturel $p\leqslant n-1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer soigneusement que
\[P(X_{p+1}=1 \mid Z_{p}=k) = \dfrac{kc+1}{pc+2}\] pour $k\in \llbracket 0,p \rrbracket$.

\item En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
\begin{equation*}
P(X_{p+1}=1)=\dfrac{1+cE(Z_{p})}{2+pc}.
\end{equation*}

\item Justifier que $Z_{p+1}=Z_{p}+X_{p+1}$ puis que lorsque $p \geqslant 1$, $E(Z_{p+1})=\dfrac{1+(2+c+pc)E(Z_{p})}{2+pc}$.

\item \'Etablir que lorsque $p\geqslant 1$, $E(Z_{p})=\dfrac{p}{2}$ puis donner la loi de $X_{p+1}$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}