\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\end{textblock}}

\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newcounter{DM}
\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Ensembles
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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% Encadrer dans align*
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\renewcommand{\j}{\text{j}}
\begin{document}

\Titre

\Titre

{\it Le temps imparti pour ce devoir est de~4 heures. Tout document ou mat\'eriel \'electronique est interdit.} \smallskip

{\it La pr\'esentation des copies et la qualit\'e de la r\'edaction seront largement prises en compte dans l'\'evaluation. Sauf mention contraire explicite, toutes vos r\'eponses doivent \^etre soigneusement justifi\'ees. Si vous pensez rep\'erer une erreur d'\'enonc\'e, vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition. Si vous ne parvenez pas \`a r\'esoudre une question, vous pouvez le cas \'ech\'eant admettre le r\'esultat demand\'e et l'utiliser si besoin dans toute question ult\'erieure du m\^eme exercice.} \smallskip

{\it Le devoir est constitu\'e de 5 exercices ind\'ependants. L'\'enonc\'e comporte~\pageref{LastPage} pages. \textbf{Les exercices 1 et 4 doivent \^etre r\'edig\'es sur une copie s\'epar\'ee des exercices 2, 3 et 5.}}
\bigskip

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer avec précision (sans démonstration) la formule de Taylor avec reste intégral.
\item On se place dans un repère orthonormé direct $\mathcal{R}=\pth{O,\vect{\imath\vphantom{k}},\vect{\jmath\vphantom{k}},\vect{k}}$ de l'espace usuel $\mathscr{E}$. Donner une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A(5,1,3)$ et dirigé par $\vect{u}(0,1,0)$ et $\vect{v}(3,0,-4)$.
\item On considère les vecteurs de $\R^4$ : ${u_1} = (1,1,1,1)$, ${u_2} = (1,1,1,0)$, ${u_3} = (1,1,0,0)$, ${u_4} = (1,0,0,0)$. La famille $({u_1},{u_2},{u_3},{u_4})$ est-elle libre ?
%\item Déterminer une équation cartésienne, dans un repère quelconque, de la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1,2)$ et $(3,8)$.
%\item On dispose de deux urnes, l'une contenant deux boules blanches et quatre boules vertes, et l'autre contenant deux boules blanches et une boule noire. On choisit une urne au hasard puis on effectue deux tirages sans remise dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
\end{enumerate}
\end{exoDS}
\bigskip

% algebre lineaire
\begin{exoDS}
  Dans tout l'exercice, on travaille dans le $\R$-espace vectoriel~$E=\R^4$. On consid\`ere les vecteurs suivants:
  $$ e_1 = (1,0,1,0),\; e_2 = (0,1,0,1),\; f_1 = (2,1,0,0),\; f_2 = (0,0,1,2)$$
  ainsi que les ensembles $ F = \Big\{ (x,y,z,t)\in E \,:\, x-2y = 0 \; \text{et}\; 2z-t = 0 \Big\}$ et $G = \Vect(e_1,e_2) $.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que~$F$ et~$G$ sont des sous-espaces vectoriels de~$E$.
    \item Donner une base de~$G$ et montrer que la famille~$(f_1,f_2)$ est une base de~$F$.
    \item Soit~$(\lambda,\mu)\in\R^2$. Montrer que si~$\lambda e_1+\mu e_2 \in F$, alors $\lambda=\mu=0$.
    \item En d\'eduire l'ensemble~$F\cap G$.
    \item Montrer que la famille~$(e_1,e_2,f_1,f_2)$ est une base de~$E$.
    \item En d\'eduire que tout vecteur de~$E$ peut s'\'ecrire comme la somme d'un vecteur de~$F$ et d'un vecteur de~$G$.
  \item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que~$F$ et~$G$ sont deux espaces vectoriels suppl\'ementaires de~$E$.
  \end{enumerate}
\end{exoDS}
%\bigskip

 % geometrie dans l'espace
\begin{exoDS}
Soit $\left(O,\vect{\imath\vphantom{k}},\vect{\jmath\vphantom{k}},\vect{k}\right)$ un rep\`ere orthonorm\'e direct de l'espace euclidien usuel; dans tout l'exercice, toutes les coordonn\'ees et \'equations seront exprim\'ees dans ce rep\`ere. On consid\`ere les vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{a}$ suivants:
$$ \vect{u}=\vect{\imath}+\vect{\jmath}+\vect{k}, \qquad \vect{v}=\vect{\imath}+\vect{\jmath}-\vect{k} \qquad\text{et}\qquad \vect{a}=\vect{i}-\vect{j}. $$
On appelle~$\mathscr{P}_1$ le plan passant par~$O$ et dirig\'e par~$\vect{u}$ et~$\vect{a}$, et~$\mathscr{P}_2$ le plan passant par~$O$ et dirig\'e par~$\vect{v}$ et~$\vect{a}$. Enfin, on note~$A$ le point de coordonn\'ees~$(3,3,0)$.
\begin{enumerate}
\item Donner une \'equation cart\'esienne de~$\mathscr{P}_1$, ainsi qu'une \'equation cart\'esienne de~$\mathscr{P}_2$.
\item \label{Dist} Calculer, en justifiant, la distance de~$A$ \`a~$\mathscr{P}_1$, ainsi que la distance de~$A$ \`a~$\mathscr{P}_2$.
\item Soit~$\mathscr{D}$ la droite passant par~$A$ et normale \`a~$\mathscr{P}_2$. D\'eterminer une repr\'esentation param\'etrique de~$\mathscr{D}$, et un syst\`eme d'\'equations cart\'esiennes de~$\mathscr{D}$.
\item Soit~$H$ le projet\'e orthogonal de~$A$ sur~$\mathscr{P}_1$. Calculer les coordonn\'ees de~$H$.
\item \label{Eqn} Soit~$\mathscr{S}$ l'ensemble ayant pour \'equation $x^2+y^2+z^2=6x+6y-12$. D\'eterminer la nature et les \'el\'ements caract\'eristiques de~$\mathscr{S}$.
%\item Pr\'eciser sans calcul si la sph\`ere est tangente aux plans~$\mathscr{P}_1$ et~$\mathscr{P}_2$.
\end{enumerate}
Soit~$\vect{b}$ le vecteur~$\vect{b}=\vect{i}+\vect{j}$, et soit~$\Delta$ la droite passant par~$O$ et dirig\'ee par~$\vect{b}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit~$M(x,y,z)$ un point de l'espace. Calculer la distance de~$M$ \`a~$\mathscr{P}_1$ et la distance de~$M$ \`a~$\Delta$ en fonction de~$x,y,z$.
\item Soit~$\mathscr{E}$ l'ensemble des points \'equidistants de~$\Delta$ et~$\mathscr{P}_1$. Montrer qu'une \'equation de~$\mathscr{E}$ est
$$ x^2+y^2+z^2-4xy+2xz+2yz=0.$$
\item Soit~$\mathscr{P}_3$ le plan d'\'equation~$x=1$. En effectuant le changement de coordonn\'ees
$$ y'=y+z \qquad\text{et}\qquad z'=y-z,$$
justifier que l'ensemble~$\mathscr{P}_3\cap\mathscr{E}$ est, dans~$\mathscr{P}_3$, une parabole dont on pr\'ecisera un axe de sym\'etrie.
\end{enumerate}
\end{exoDS}
%\bigskip

% problème d'analyse
\begin{exoDS}
\noindent \textbf{Partie I : Une étude de fonction}

On considère la fonction $g$ définie par :
\[
\begin{cases}
  g(x)=\dfrac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\quad\text{si $x\in\R^*$,}\\
g(0)=0.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est de classe $\mathscr C^{\infty}$ sur $\R^*$.
\item Étudier la continuité à droite et à gauche de $g$ et la dérivabilité de $g$ en $0$.
\item Dresser le tableau des variations de $g$ (on n'oubliera pas les limites).
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie II : Calculs d'aires}
\begin{enumerate}[resume]
\item Étant donné un nombre réel $h\in]0,1[$, déterminer l'aire
      $\mathscr{A}(h)$ de la partie du plan limitée par l'axe des
      abscisses, la courbe représentative de $g$ et les droites d'équations
      $x=h$ et $x=1$.
    \item Déterminer, en justifiant son existence, $\underset{h\to 0^+}{\lim}
      \mathscr{A}(h)$.

  \end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie III : Résolution d'une équation différentielle}
  \begin{enumerate}[resume]
	\item  Résoudre l'équation différentielle $(E) : x^2y'+(2x-1)y=0$
      sur chacun des intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
\item On considère une fonction $y$ solution de $(E)$ sur $\R$. En utilisant la continuité de $y$ en $0$, montrer que $y$ est nulle sur $\R^-$.
\item L'équation $(E)$ a-t-elle des solutions sur $\mathbb{R}$~? Si oui, donner au moins une solution.
    \end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie IV : Dérivées successives et polynômes associés}
    \begin{enumerate}[resume]
\item  Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un polynôme
  $P_n$ tel que
  \[\forall x\in ]0,+\infty[\qquad g^{(n)}(x)=
  \frac{P_n(x)}{x^{2n+2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\]
et que
\begin{equation}
  \label{eq:Pn1}
  P_{n+1}(x) = x^2P_n'(x) + \big(1-2(n+1)x\big)P_n(x)
\end{equation}
On admettra, dans la suite, l'unicité de $P_n$.
\item  Calculer $P_0,P_1,P_2,P_3$ et $P_4$.
\item  Calculer le degré et le coefficient dominant  de $P_n$ pour tout entier $n \in \N$.
\item Montrer que $P_n(0)$ ne dépend pas de $n \in \N$ puis en déduire sa valeur.
\item On considère $f$ tel que, pour tout $x \in \R$ : $f(x)=x^2g(x)$.
  Démontrer que, pour tout $n \in \N$ : \[f^{(n+1)} = g^{(n)}.\]
%\item  Rappeler la formule de Leibniz donnant la dérivée d'un produit de fonctions, sans oublier les hypothèses nécessaires.
\item  En utilisant la formule de Leibniz pour calculer $f^{(n)}$, démontrer que, pour tout $n \in \N^*$ :
  \begin{equation*}
    \label{eq:Pn2}
     P_{n+1}(X) = \big(1-2(n+1)X\big)  P_{n}(X) - n(n+1)X^2  P_{n-1}(X)
  \end{equation*}
\item  En déduire que, pour tout $n \in \N^*$ :
  \begin{equation*}
    \label{eq:Pn3}
     P_{n}'(X) = -n(n+1) P_{n-1}(X).
  \end{equation*}
\item Déduire de (\ref{eq:Pn1}) que, pour tout $n \in \N$ :
  \begin{equation*}
    \label{eq:Pn4}
    X^2P_{n}''(X) + (1-2nX)  P_{n}'(X) + n(n+1)  P_{n}(X) = 0.
  \end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exoDS}
\bigskip

% polynomes
\begin{exoDS}
\begin{enumerate}
\item D\'evelopper, pour tout~$y\in\C^*$ et~$n\in\N$, $\left(y+\dfrac{1}{y}\right)\times\left(y^{n+1}+\dfrac{1}{y^{n+1}}\right)$.
\item Montrer que, pour tout~$n\in\N$, il existe un polyn\^ome~$Q_n$ tel que:
$$ \forall y\in\C^*,\quad y^n+\frac{1}{y^n} = Q_n\left(y+\frac{1}{y}\right). $$
On pourra raisonner par r\'ecurrence double sur~$n$ et on d\'emontrera notamment que:
$$ Q_0=2, \quad Q_1 = X \quad\text{et}\quad\forall n\in\N,\quad Q_{n+2}(X)=XQ_{n+1}(X)-Q_n(X). $$
\item D\'eterminer le degr\'e et le coefficient dominant de~$Q_n$ pour tout~$n\in\N$ (on proc\`edera \`a nouveau par r\'ecurrence double).
\end{enumerate}
Dans les questions qui suivent, on fixe~$n\in\N^*$ et on note~$f_n$ la fonction polynimiale associ\'ee \`a~$Q_n$. On cherche \`a r\'esoudre l'\'equation~$f_n(z)=0$ d'inconnue~$z\in\C$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que, pour tout~$z\in\C$, il existe~$y\in\C^*$ tel que~$y+\dfrac{1}{y}=z$. En d\'eduire qu'on a alors
$$ f_n(z)=0 \Longleftrightarrow y^n+\dfrac{1}{y^n}=0 \qquad\text{avec}\qquad z = y+\frac{1}{y}.$$
\item D\'eterminer les nombres complexes~$y$ non nuls tels que~$y^n+\dfrac{1}{y^n}=0$.
\item En d\'eduire les solutions dans~$\C$ de l'\'equation~$f_n(z)=0$ d'inconnue~$z$. On pr\'ecisera le nombre de solutions.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}