\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newcounter{DM}
\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Ensembles
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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\renewcommand{\j}{\text{j}}
\begin{document}

\Titre

{\it Le temps imparti pour ce devoir est de~4 heures. Tout document ou mat\'eriel \'electronique est interdit.} \smallskip

{\it La pr\'esentation des copies et la qualit\'e de la r\'edaction seront largement prises en compte dans l'\'evaluation. Sauf mention contraire explicite, toutes vos r\'eponses doivent \^etre soigneusement justifi\'ees. Si vous pensez rep\'erer une erreur d'\'enonc\'e, vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition. Si vous ne parvenez pas \`a r\'esoudre une question, vous pouvez le cas \'ech\'eant admettre le r\'esultat demand\'e et l'utiliser si besoin dans toute question ult\'erieure du m\^eme exercice.} \smallskip

{\it Le devoir est constitu\'e de 5 exercices ind\'ependants. L'\'enonc\'e comporte~\pageref{LastPage} pages. \textbf{Les exercices 1 et 4 doivent \^etre r\'edig\'es sur une copie s\'epar\'ee des exercices 2, 3 et 5.}}
\bigskip

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $x \longmapsto \displaystyle \frac{\e^x -1}{x}$ admet un prolongement continu sur $\R$.
\item Déterminer une équation cartésienne, dans un repère quelconque, de la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1,2)$ et $(3,8)$.
\item On dispose de deux urnes, l'une contenant deux boules blanches et quatre boules vertes, et l'autre contenant deux boules blanches et une boule noire. On choisit une urne au hasard puis on effectue deux tirages sans remise dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
\end{enumerate}
\end{exoDS}
\bigskip

% analyse facile
\begin{exoDS}
Dans cet exercice, on consid\`ere la fonction~$f$ suivante:
$$f:\left\{\begin{array}{ccc} \R^* & \longrightarrow & \R \\[2mm] x & \longmapsto & \dfrac{\sin\left(x^3\right)}{x} \end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item Justifier que~$f$ est d\'erivable sur~$\R^*$ et calculer sa d\'eriv\'ee.
\item Montrer que~$f$ admet en~$+\infty$ et en~$-\infty$ des limites r\'eelles que l'on d\'eterminera.
\item \label{ineg} Montrer que pour tout r\'eel~$t$, $|\sin t| \le |t|$ (on pourra utiliser l'in\'egalit\'e des accroissements finis). En d\'eduire que~$f$ est prolongeable par continuit\'e \`a~$\R$.
\item Montrer que le prolongement obtenu \`a la question pr\'ec\'edente est de classe~$\mathscr{C}^1$ sur~$\R$. On pourra utiliser \`a nouveau l'in\'egalit\'e de la question~\ref{ineg}, et on mentionnera pr\'ecis\'ement le nom du th\'eor\`eme utilis\'e, dont on v\'erifiera soigneusement les hypoth\`eses.
\item Montrer que~$f'$ n'a pas de limite en~$+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}
%\bigskip
\newpage

% matrices
\begin{exoDS}
Soit~$A$ une matrice carr\'ee fix\'ee. Pour tout~$(t,n)\in\R\times\N$, on note
$$ E_n(t) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{t^k}{k!} A^k. $$
On \'etudie dans cet exercice le comportement de la suite de matrices~$(E_n(t))_n$ lorsque~$n$ tend vers~$+\infty$ dans certains cas particuliers pour la matrice~$A$. On dit qu'une suite de matrices {\it converge} lorsque tous ses coefficients convergent; lorsque, pour~$t$ fix\'e, la suite~$(E_n(t))_n$ converge, on note~$E(t)$ sa limite (qui est la matrice dont les coefficients sont les limites de ceux de~$E_n(t)$).

Les questions 1 \`a 4 de cet exercice peuvent \^etre trait\'ees ind\'ependamment des questions~5 \`a~8.
\bigskip

\noindent {\bf Partie~I: le cas d'une matrice dont une puissance est nulle}

Dans les questions~\ref{q1} \`a~\ref{q3}, on fixe un entier naturel~$p\ge 1$, et l'on suppose que~$A\in M_p(\R)$ et v\'erifie~$A^3=0$.
\begin{enumerate}
\item \label{q1} Montrer que, pour tout~$t\in\R$, la suite~$(E_n(t))_n$ converge et que sa limite est donn\'ee par
$$ E(t) = I_p+tA+\frac{t^2}{2} A^2. $$
\item Montrer que pour tout $(s,t) \in \R^2$, $E(t)\times E(s) = E(t+s)$.
\item \label{q3} En déduire que pour tout $t\in\R$, $E(t)$ est inversible et donner son inverse.
\item On suppose que~$p=3$ et que
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
Calculer~$A^2$ et~$A^3$ puis donner~$E(t)$, pour tout r\'eel~$t$, sous la forme d'un tableau de nombres.
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent {\bf Partie~II: un cas particulier en taille~2} \smallskip

Dans toutes questions suivantes, on consid\`ere les matrices
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad  P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
\item On pose $D = P A P^{-1}$. Calculer $D$ puis, pour tout $n \in \N$, $D^n$ et $A^n$.
\item Soit~$n\in\N$ et~$t\in\R$. D\'eterminer une expression de~$E_n(t)$ faisant intervenir deux sommes.
\item On admet que, pour tout $x \in \R$,
$$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \e^x.$$
Montrer que, pour tout~$t\in\R$,~$(E_n(t))_n$ est convergente et d\'eterminer~$E(t)$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}
%\bigskip
\newpage

% problème d'analyse
\begin{exoDS}
\noindent \textbf{Partie I : Une étude de fonction}

On considère la fonction  $f : x \longmapsto \displaystyle\frac{\ln x}{1+x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f$ et justifier que $f$ est dérivable sur cet ensemble.
\item Montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f'(x)$ est du signe de $g(x) = 1+x^2 - 2x^2 \ln x$.
\item Dresser le tableau des variations de $g$ sur $]0,+\infty[$ (on déterminera notamment les limites en $0^+$ et en $+\infty$ ainsi que $g(1)$).
\item Montrer que l'équation~$g(x)=0$, d'inconnue $x \in ]0,+\infty[$, admet une unique solution qu'on notera~$m$. En déduire le signe de $g$ sur $]0,+\infty[$ en fonction de $m$.
\item Montrer que $f(m) = \displaystyle \frac{1}{2 m^2}$.
\item Dresser le tableau des variations de $f$ (on déterminera notamment les limites en $0^+$ et en $+\infty$) puis tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\smallskip

\noindent \textbf{Partie II : Une fonction définie par une intégrale}

Soit~$F$ la fonction d\'efinie sur~$\R_+^*$ par:
\[\forall x\in\R_+^*,\; F(x) =  \int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2} \dx{t}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer le signe de $F$ sur $]0,+\infty[$ puis justifier que $F$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer, sur $]0,+\infty[$, $F'$.
\end{enumerate}

On considère la fonction $\varphi : x \longmapsto \displaystyle \frac{\arctan x}{x}$.

\begin{enumerate}[resume]
%\item Justifier que $\varphi$ est définie sur $\R^*$ et que $\arctan x = x + \underset{x \to 0}{o}(x)$.
\item \label{prol1} Déterminer le domaine de définition de $\varphi$ et justifier que $\varphi$ est prolongeable par continuité sur~$\R$. On notera, dans la suite, encore $\varphi$ ce prolongement.
\item Montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, \[ F(x) = \arctan x \ln x - \int_1^x \varphi(t) \dx{t}.\]
\item Justifier que $F$ est prolongeable par continuité sur $[0,+\infty[$. On pourra utiliser la limite de la question \ref{prol1}. On note à nouveau $F$ ce prolongement.
\item Montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $F(x) = F\left( \frac{1}{x}\right)$.
\item Justifier que $F$ admet une limite finie en $+\infty$, que l'on déterminera sous la forme d'une int\'egrale (il n'est pas demand\'e de calculer explicitement cette int\'egrale).
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie III : Calcul approché de $F(0)$}

%On définit, pour tout $p \in \N^*$ : \[f_p : t \mapsto t^p \ln t.\]

\begin{enumerate}[resume]
%\item Justifier que pour tout $p\in\N^*$, $f_p$ est prolongeable par continuité sur $[0,1]$. On notera à nouveau ce prolongement $f_p$.
%\item Calculer, pour tout $p\in\N^*$ :
%\[I_p = \int_0^1 f_p(t) \dx{t}.\]
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$ : $\displaystyle \frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k} + (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}$.
\item Montrer que pour tout $k \in \N$ et $x \in ]0,+\infty[$,
$\displaystyle \int_1^x t^k \ln t \dx{t} = \frac{x^{k+1} \ln x}{k+1} - \frac{x^{k+1} -1}{(k+1)^2}$.
\item Conclure que pour tout $n \in \N$ : \[ \left\lvert F(0) - \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} \right\rvert \le \frac{1}{(2n+3)^2}.\]
\item Déterminer une valeur approchée rationnelle de $F(0)$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{exoDS}
\bigskip

% probas
\begin{exoDS}
On consid\`ere une urne contenant initialement des boules blanches et des boules rouges. On effectue une s\'erie de tirages dans cette urne selon le protocole suivant: apr\`es chaque tirage, la boule tir\'ee est remise dans l'urne, ainsi que~$c$ autres boules de la couleur de la boule qui vient d'\^etre tir\'ee. Pour tout~$n\in\N^*$, on note~$B_n$ l'\'ev\'enement \og on tire une boule blanche au~$n$-i\`eme tirage\fg, et~$R_n$ l'\'ev\'enement \og on tire une boule rouge au~$n$-i\`eme tirage\fg. \smallskip

On note dans un premier temps~$b$ et~$r$ les nombres respectifs de boules blanches et rouges avant le premier tirage.
\begin{enumerate}
\item Donner~$P(B_1)$ puis~$P(B_2)$.
\item On suppose que la deuxi\`eme boule tir\'ee est blanche. Quelle est la probabilit\'e que la premi\`ere boule tir\'ee ait \'et\'e blanche?
\item Les \'ev\'enements $B_1$ et~$B_2$ sont-ils ind\'ependants?
\end{enumerate}
\smallskip

Pour tout~$(x,y)\in\N^*\times\N^*$, on note d\'esormais~$u_n(x,y)$ la probabilit\'e que la~$n$-i\`eme boule tir\'ee soit blanche lorsque l'urne contient initialement~$x$ boules blanches et~$y$ boules rouges.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner~$u_1(x,y)$ et~$u_2(x,y)$.
\item Montrer en utilisant un syst\`eme complet d'\'ev\'enements associ\'e au premier tirage que
$$ \forall (x,y,n)\in\N^*\times\N^*\times\N^*,\; u_{n+1}(x,y) = \frac{x}{x+y} u_n(x+c,y)+\frac{y}{x+y}u_n(x,y+c). $$
\item En d\'eduire que, pour tout~$n\in\N^*$:
$$ \forall (x,y)\in\N^*\times\N^*,\; u_n(x,y) = \frac{x}{x+y}. $$
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}