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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newcounter{DM}
\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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\begin{document}

\Titrecorrige

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere les matrices suivantes:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Calculer~$B^2$ et~$B^3$ puis, en remarquant que~$A=2I_3+B$, calculer~$A^k$ pour tout~$k\in\N$.
\item On pose, pour tout entier naturel~$n\ge 2$,
$$ u_n = \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k^2}. $$
Donner le sens de variations de~$(u_n)_n$ puis montrer que
$$ \forall n\in\N\setminus\{0,1\},\; u_n \le \sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k(k-1)}. $$
En d\'eduire, en simplifiant le membre de droite dans l'in\'egalit\'e ci-dessus, que~$(u_n)_n$ converge.
\item Soit $n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a cinq. Une course oppose~$n$ chevaux num\'erot\'es de~$1$ \`a~$n$. Donner le nombre de classements des cinq premiers possibles:
\begin{itemize}
\item sans que l'ordre importe (par exemple, les classements \og 2, 7, 9, 10, 4\fg\@ et \og 10, 7, 9, 4, 2\fg\@ sont consid\'er\'es comme identiques car ils sont constitu\'es des cinq m\^emes chevaux);
\item puis en tenant compte de l'ordre.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
\begin{enumerate}
\item On sait que $\cro{\vect{u}}_{\mathcal{R}}=\begin{pmatrix} \tfrac{-3}{5} \\ \tfrac{4}{5} \end{pmatrix}$ et $\cro{\vect{v}}_{\mathcal{R}}=\begin{pmatrix} \tfrac{-4}{5} \\ \tfrac{-3}{5} \end{pmatrix}$. On a les quatre égalités :
\begin{align*}
&\norm{\vect{u}} = \sqrt{\pth{\dfrac{-3}{5}}^2+\pth{\dfrac{4}{5}}^2} = 1, \quad
\norm{\vect{v}} = \sqrt{\pth{\dfrac{-4}{5}}^2+\pth{\dfrac{-3}{5}}^2} = 1 \\
&\scal{\vect{u}}{\vect{v}} = \dfrac{-3}{5} \times \dfrac{-4}{5} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{-3}{5} =0
\quad \text{et} \quad [\vect{u},\vect{v}] = \begin{vmatrix} \tfrac{-3}{5} & \tfrac{-4}{5} \\ \tfrac{4}{5} & \tfrac{-3}{5} \end{vmatrix} = \dfrac{-3}{5} \times \dfrac{-3}{5} - \dfrac{-4}{5} \times \dfrac{4}{5} =1.
\end{align*}
Comme $[\vect{u},\vect{v}] > 0$, \fbox{$(\vect{u},\vect{v})$ est une base directe du plan}. Les trois premières égalités montrent ensuite que $(\vect{u},\vect{v})$ est une base orthonormée.
\item Soit $M$ un point du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\mathcal{R}$. On a :
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1 &\ssi [\vect{u},\vect{AM}]=0 & M\in \mathscr{D}_2 &\ssi [\vect{v},\vect{\Omega M}]=0 \\
&\ssi \begin{vmatrix} \tfrac{-3}{5} & x \\ \tfrac{4}{5} & y-4 \end{vmatrix} =0 & &\ssi \begin{vmatrix} \tfrac{-4}{5} & x-3 \\ \tfrac{-3}{5} & y \end{vmatrix} =0 \\
&\ssi \dfrac{-3}{5} (y-4)- \dfrac{4}{5} x =0 & &\ssi \dfrac{-4}{5} y- \dfrac{-3}{5} (x-3) =0 \\
\boxedalign{M\in \mathscr{D}_1}{\ssi 4x+3y-12=0} & \boxedalign{M\in \mathscr{D}_2}{\ssi 3x-4y-9=0}
\end{align*}
Finalement, $\boxed{4x+3y-12=0}$ est une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}_1$ et $\boxed{3x-4y-9=0}$ est une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}_2$.
\item Soit $M$ un point du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\mathcal{R}$. On a :
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1 \cap \mathscr{D}_2 &\ssi \left\{\begin{array}{l} 4x+3y-12=0 \\ 3x-4y-9=0 \end{array} \right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} 4x+3y-12=0 & \\ 25x-75=0 & L_2 \leftarrow 4L_1 +3L_2 \end{array} \right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{l} y=0  \\ x=3 \end{array} \right.
\end{align*}
Le point d'intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est \fbox{le point de coordonnées $(3,0)$ dans le repère $\mathcal{R}$}, c'est donc le point $\Omega$.
\item Par définition des coordonnées cartésiennes, on a $\vect{\Omega M}=x'\vect{u}+y'\vect{v}$ et $\vect{O\Omega}=3\vect{\imath}$. D'où :
\begin{align*}
\vect{OM}&= \vect{O\Omega} + \vect{\Omega M} = 3\vect{\imath} + x'\pth{\dfrac{-3}{5}\vect{\imath}+\dfrac{4}{5}\vect{\jmath}} + y'\pth{\dfrac{-4}{5}\vect{\imath}-\dfrac{3}{5}\vect{\jmath}} \\
 &= \pth{\dfrac{-3}{5}x'-\dfrac{4}{5}y'+3}\vect{\imath}+\pth{\dfrac{4}{5}x'-\dfrac{3}{5}y'}\vect{\jmath} .
\end{align*}
Par unicité des coordonnées cartésiennes dans le repère $\mathcal{R}$, on en déduit :
\[ \boxed{\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{-3}{5}x'-\dfrac{4}{5}y'+3 \\ y= \dfrac{4}{5}x'-\dfrac{3}{5}y' \end{array} \right.} \]
\item D'après les relations précédentes : $3x-4y = -5x'+9$ et $4x+3y=-5y'+12$ donc
\begin{align*}
&(3x-4y)(4x+3y)-72x+21y+83 \\
&= (-5x'+9)(-5y'+12)-72\pth{\dfrac{-3}{5}x'-\dfrac{4}{5}y'+3}+21\pth{\dfrac{4}{5}x'-\dfrac{3}{5}y' }+83 \\
&= 25x'y'-60x'-45y'+ 108 +\dfrac{72\times 3+84}{5} x' +\dfrac{72\times 4-63}{5} y'-72\times 3+83 \\
&= 25x'y'-25
\end{align*}
Comme $\boxed{(3x-4y)(4x+3y)-72x+21y+83=25(x'y'-1)}$, une équation de l'ensemble $\mathscr{C}$ dans le repère~$\mathcal{R}'$ est~\fbox{$x'y'=1$}. $\mathscr{C}$ est une hyperbole (de façon analogue à la représentation graphique de la fonction~$x \mapsto 1/x$) dont les asymptotes sont les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$. On a la figure :
\begin{center} \fbox{\includegraphics[scale= 1]{Ex3.png}} \end{center}
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Pour tout r\'eel~$m$, on consid\`ere le syst\`eme $(\text{S}_m)$ suivant, d'inconnue~$(x,y,z)\in\R^3$:
%$$ \left\{ \begin{array}{ccccc} x & -y & +2z & = & m-2 \\[1mm] -2x & +4y & +(m-2)z & = & 0 \\[1mm] x & +(2-m)y & +4z & = & 2m-4 \end{array}\right. $$
$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x  -y  +2z & = & m-2 \\[1mm] -2x  +4y  +(m-2)z & = & 0 \\[1mm] x  +(2-m)y  +4z & = & 2m-4 \end{array}\right. $$
Dans les trois premi\`eres questions, on suppose que~$m=3$.
\begin{enumerate}
\item Donner une matrice~$A$ et un vecteur colonne~$B$ tels que $\text{S}_m$ s'\'ecrire sous forme matricielle \og $AX=B$\fg, o\`u~$X$ est le vecteur colonne des inconnues.
\item Montrer que~$A$ est inversible et calculer son inverse (on \'ecrira~$A^{-1}$ sous la forme \og fraction $\times$ matrice \`a coefficients entiers\fg).
\item En d\'eduire que si~$m=3$, le syst\`eme~$(\text{S}_m)$ admet une unique solution et donner cette solution.
\end{enumerate}
Dans les questions qui suivent, on ne suppose plus que~$m=3$.
\begin{enumerate}[resume]
\item \'Echelonner le syst\`eme~$(\text{S}_m)$ et montrer qu'il est \'equivalent \`a un syst\`eme~$(\text{S}_m')$ dont la derni\`ere ligne a la forme suivante:
$$ -(m^2-m-2)z = \dots $$
o\`u les points de suspension sont \`a remplacer par une expression en fonction de~$m$. En d\'eduire pour quelles valeurs de~$m$ ce syst\`eme admet une solution unique.
\item Quel est l'ensemble des solutions de~$(\text{S}_m)$ lorsque~$m=-1$?
\item Donner pr\'ecism\'ement l'ensemble des solutions de~$(\text{S}_m)$ lorsque~$m=2$.
\item On suppose que~$m\in\R\setminus\{-1,2\}$. R\'esoudre $(\text{S}_m)$. (On pourra commencer par simplifier la derni\`ere ligne du syst\`eme obtenu \`a la question~4 par~$m+1$).
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $\cro{0,1}$ car d'une part, $x\mapsto x+\sqrt{1+x^{2}}$ est définie et dérivable sur $\cro{0,1}$ et à valeurs dans $\croo{0,+\infty}$ et d'autre part, la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur~$\croo{0,+\infty}$. Soit $x\in\cro{0,1}$. On a :
\[f'(x) = \dfrac{1+\tfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}= \dfrac{\tfrac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} .\]
\item Avec la question précédente : \[u_0=\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \cro{f(x)}_0^1=f(1)-f(0)=\boxed{\ln \pth{1+\sqrt{2}}}.\]
On a également : $u_1=\dint_{0}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \cro{\sqrt{1+x^{2}}}_0^1=\boxed{\sqrt{2}-1}$
\item Soit $n\geqslant 0$ un entier. On a :
\[ u_n-u_{n+1} = \dint_{0}^{1} \dfrac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} - \dint_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \dint_{0}^{1} \dfrac{x^n-x^{n+1}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \dint_{0}^{1} \dfrac{x^{n}(1-x)}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} .\]
Pour tout $x\in\cro{0,1}$, $1-x\ge 0$, donc $\dfrac{x^{n}(1-x)}{\sqrt{1+x^{2}}}\ge 0$. Par positivité de l'intégrale, on en déduit l'inégalité~$\boxed{u_n-u_{n+1}\ge 0}$. \fbox{La suite $(u_n)_{n\in\N}$ est décroissante.}
\item Soit $x\in \cro{0,1}$. On a $0 \le x \le 1$ puis, comme $x\mapsto x^2$ est croissante sur $\cro{0,1}$, $1 \le 1+x^2 \le 2$ et enfin~\fbox{$1 \le \sqrt{1+x^2} \le \sqrt{2}$} car $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante sur $\cro{1,2}$.
\item Soit $n$ un entier naturel et $0\le x\le 1$. D'après la question précédente et comme la fonction inverse est décroissante sur $\cro{1,\sqrt{2}}$, on a successivement :
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} &\le \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \le 1 \quad \text{puis} \quad
\dfrac{\sqrt{2}}{2} x^n \le \dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}} \le x^n
\intertext{Par croissance de l'intégrale et comme $0<1$, on a donc :}
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \dint_0^1 x^n \dx{x} &\le u_n \le \dint_0^1 x^n \dx{x} \quad \text{ce qui donne} \quad
\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2(n+1)}\le u_n \le \dfrac{1}{n+1}}
\end{align*}
\item Le suite $(u_n)$ est une suite décroissante de termes positifs. Par le théorème de la limite monotone, elle converge. De plus, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$. Finalement, d'après le théorème d'encadrement, \fbox{la suite $(u_n)$ converge vers $0$}.
\item Soit $n\ge 3$ un entier. On a :
\begin{align*}
u_n+u_{n-2}&= \dint_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} + \dint_0^1 \dfrac{x^{n-2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \dint_0^1 \dfrac{x^n+x^{n-2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} \\
&= \dint_0^1 \dfrac{x^{n-2}(x^2+1)}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \dint_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+1} \dx{x} \\
\end{align*}
ce qui s'écrit \fbox{$u_n+u_{n-2}=I_n$}.
\item Soit $n\ge 3$ un entier. En intégrant par parties, puisque $x \mapsto \dfrac{1}{n-1}x^{n-1}$ et $x \mapsto \sqrt{1+x^{2}}$ sont de classe $\mathscr C^1$ sur $[0,1]$, on a :
\begin{align*}
I_{n} &=\dint_{0}^{1} x^{n-2}\sqrt{1+x^{2}} \dx{x} = \cro{\dfrac{1}{n-1}x^{n-1}\sqrt{1+x^{2}}}_0^1 -\dint_0^1 \dfrac{1}{n-1}x^{n-1} \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} \\
&= \dfrac{\sqrt{2}}{n-1} - \dfrac{1}{n-1} \dint_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{u_n}{n-1}
\end{align*}
En conclusion, pour tout entier $n \geqslant 3$ :
\[\boxed{I_{n}= \dfrac{\sqrt{2}-u_n}{n-1}}.\]
\item Soit $n\ge 3$ un entier. Alors d'après les deux questions précédentes :
\begin{align*}
u_n+u_{n-2} &= I_n = \dfrac{\sqrt{2}-u_n}{n-1}
\end{align*}
donc $(n-1) u_n + (n-1) u_{n-2} = \sqrt{2}-u_n$ puis \fbox{$nu_n +(n-1)u_{n-2} = \sqrt{2}$}.
\item Soit $n\ge 3$ un entier. Comme la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est décroissante, $u_{n-2}\ge u_n$. On en déduit que :
\begin{align*}
nu_n +(n-1)u_{n} &\le nu_n +(n-1)u_{n-2} \quad \text{qui donne} \quad \boxed{(2n-1)u_n\le \sqrt{2}}
\end{align*}
\item Soit $n\ge 3$ un entier. On sait que $\dfrac{\sqrt{2}}{2\left( n+1\right)}\le u_{n}$  d'où $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{n}{n+1}\le nu_{n}$. De plus : \[(2n-1)u_n\le \sqrt{2},\] d'où $nu_n\le \sqrt{2} \dfrac{n}{2n-1}$. On a donc pour tout entier $n\ge 3$ :
\[ \boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{n}{n+1}\le nu_{n} \le \sqrt{2} \dfrac{n}{2n-1}}\]
Comme $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{2} \dfrac{n}{2n-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, en utilisant l'encadrement précédent, d'après le théorème d'encadrement, \fbox{la suite $(nu_n)$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}

{\it Dans cet exercice, les questions 4 \`a~6 sont ind\'ependantes des questions 1 \`a~3.} \smallskip

Soit~$n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a~$1$; on pose~$N=2n$. Une urne contient~$N$ boules num\'erot\'ees de~$1$ \`a~$N$; les boules num\'ero~$1$ \`a~$n$ sont rouges et les boules num\'ero~$n+1$ \`a~$N$ sont noires. Soit~$p\in\llbracket 1,N\rrbracket$; on effectue~$p$ tirages dans cette urne. \smallskip

Dans les questions~1 \`a~3, on suppose que les tirages sont effectu\'es simultan\'ement et sans remise.

\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de tirages possibles (on justifiera sa r\'eponse).
\item On suppose que~$p\le n$. Soit~$k\in\llbracket 0,p\rrbracket$. D\'eterminer le nombre de tirages donnant~$k$ boules rouges et~$p-k$ boules noires (on justifiera sa r\'eponse).
\item En prenant~$p=n$ dans les questions~1 et~2, montrer que: $\dsum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.
\end{enumerate}
Dans les questions 4 \`a~6, on suppose que les tirages sont effectu\'es avec remise.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le nombre de tirages possibles (on justifiera sa r\'eponse).
\end{enumerate}
Dans les questions qui suivent, on suppose que~$p$ est pair. Soit~$q\in\N^*$ tel que~$p=2q$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le nombre de tirages o\`u les tirages impairs donnent une boule rouge et les tirages pairs donnent une boule noire, autrement dit o\`u:
\begin{itemize}
\item la premi\`ere, la troisi\`eme, \dots, la~$p-1$-i\`eme boule tir\'ee sont rouges;
\item la deuxi\`eme, la quatri\`eme, \dots, la~$p$-i\`eme boule tir\'ee sont noires.
\end{itemize}
\item Donner le nombre de tirages o\`u apparaissent~$q$ boules rouges et~$q$ boules noires.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit $a,n \in\N^*$.
\begin{enumerate}
\item On a :
\[(a-1)\sum_{k=0}^{n-1} a^k = \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k = \sum_{k=1}^{n} a^{k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k\]
qui est une somme télescopique et donne :
\[\boxed{(a-1)\sum_{k=0}^{n-1} a^k = a^{n} - 1}.\]
\item Si $a = 1$, $a^n - 1 = 0$ n'est pas premier. Supposons dans la suite que $a \neq 1$. Procédons par contraposition. Supposons que $a \neq 2$. On a donc $a - 1 > 1$. Ainsi, avec la question précédente, $a^n - 1 = p \times q$ où  $p = a-1$ et $q = \sum_{k=0}^{n-1} a^k$ sont des entiers. Ainsi, $p > 1$ est un diviseur de $a^n - 1$ qui n'est donc pas premier. Par contraposition,\fbox{si $a^n - 1$ est un nombre premier alors $a = 2$}.
\item On a $2^{11} = 2 \times 2^5 \times 2^5 = 2 \times 32^2 = 2048$ donc $M_{11} = 2047$. On a successivement :
\[2048 = 23 \times 80 + 208 = 23 \times 89 + 1\]
donc, comme $0 \leqslant 1 < 23$, \fbox{$1$ est le reste de la division euclidienne de $2048$ par $23$}.
\item Le nombre $11$ premier mais avec la question précédente, $23$ divise $M_{11}$ donc \fbox{$\mathscr P$ est fausse}.
\item On procède par contraposition. Supposons que $n$ n'est pas premier. Montrons que $M_n$ n'est pas premier. Il existe $p,q>1$ des entiers tel que $n = pq$. Par suite, comme dans la question 1, on a :
\[2^n -1 = \big(2^{p}\big)^q - 1 = (2^p -1) \sum_{k=0}^{q-1} \big(2^p\big)^k.\]
Ainsi, comme $\sum_{k=0}^{q-1} \big(2^p\big)^k \in \N$ et $2^p -1 \in \N$, $2^p -1$ divise $M_n$. De plus, comme $p>2$, $2^p -1 > 2$. Ainsi, $M_n$ admet un diviseur strictement plus grand que $2$ : $M_n$ n'est pas premier. Par contraposition, en conclusion, \fbox{la réciproque de $\mathscr P$ est vraie}.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}