\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Ensembles
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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\begin{document}

\Titre

\consignes{4}{les exercices 1,3 et 5 sur une copie et les exercices~2,4 et 6 sur une autre copie.}

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere les matrices suivantes:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Calculer~$B^2$ et~$B^3$ puis, en remarquant que~$A=B+2I_3$, calculer~$A^n$ pour tout entier~$n\ge 2$.
\item On pose, pour tout entier naturel~$n\ge 2$,
$$ u_n = \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k^2}. $$
Donner le sens de variations de~$(u_n)_n$ puis montrer que
$$ \forall n\in\N\setminus\{0,1\},\; u_n \le \sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k(k-1)}. $$
En d\'eduire, en simplifiant le membre de droite dans l'in\'egalit\'e ci-dessus, que~$(u_n)_n$ converge.
\item Soit $n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a cinq. Une course oppose~$n$ chevaux num\'erot\'es de~$1$ \`a~$n$. Donner le nombre de classements des cinq premiers possibles:
\begin{itemize}
\item sans que l'ordre importe (par exemple, les classements \og 2, 7, 9, 10, 4\fg\@ et \og 10, 7, 9, 4, 2\fg\@ sont consid\'er\'es comme identiques car ils sont constitu\'es des cinq m\^emes chevaux);
\item puis en tenant compte de l'ordre.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit $\mathcal{R} =\pth{O,\vect{\imath},\vect{\jmath}}$ un repère orthonormé direct du plan $\mathscr{P}$. On considère les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ de coordonnées $\pth{\dfrac{-3}{5},\dfrac{4}{5}}$ et $\pth{\dfrac{-4}{5},\dfrac{-3}{5}}$, et les points $A$ et $\Omega$ de coordonnées $\pth{0,4}$ et $\pth{3,0}$. \bigskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(\vect{u},\vect{v})$ est une base orthonormée directe du plan.
\end{enumerate}
Soit $\mathscr{D}_1$ la droite de vecteur directeur $\vect{u}$ passant par $A$ et $\mathscr{D}_2$ la droite de vecteur directeur $\vect{v}$ passant par $\Omega$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer une équation cartésienne pour les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ dans le repère $\mathcal{R}$. \bigskip
\item Déterminer le point d'intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$. \bigskip
\end{enumerate}
On pose $\mathcal{R'}=\pth{\Omega,\vect{u},\vect{v}}$. Soit $\mathscr{C}$ l'ensemble des points du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\mathcal{R}$ tels que :
\[ (3x-4y)(4x+3y)-72x+21y+83=0.\]
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $M$ un point de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\mathcal{R}$, et $(x',y')$ dans le repère $\mathcal{R}'$. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \bigskip
\item Montrer qu'une équation de $\mathscr{C}$ dans le repère $\mathcal{R}'$ est $x'y' = 1$ et effectuer un dessin de $\mathscr{C}$ où on fera figurer~$\mathscr R$ et $\mathscr R'$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Pour tout r\'eel~$m$, on consid\`ere le syst\`eme $(\text{S}_m)$ suivant, d'inconnue~$(x,y,z)\in\R^3$:
%$$ \left\{ \begin{array}{ccccc} x & -y & +2z & = & m-2 \\[1mm] -2x & +4y & +(m-2)z & = & 0 \\[1mm] x & +(2-m)y & +4z & = & 2m-4 \end{array}\right. $$
$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x  -y  +2z & = & m-2 \\[1mm] -2x  +4y  +(m-2)z & = & 0 \\[1mm] x  +(2-m)y  +4z & = & 2m-4 \end{array}\right. $$
Dans les trois premi\`eres questions, on suppose que~$m=3$.
\begin{enumerate}
\item Donner une matrice~$A$ et un vecteur colonne~$B$ tels que $\text{S}_m$ s'\'ecrire sous forme matricielle \og $AX=B$\fg, o\`u~$X$ est le vecteur colonne des inconnues.
\item Montrer que~$A$ est inversible et calculer son inverse (on \'ecrira~$A^{-1}$ sous la forme \og fraction $\times$ matrice \`a coefficients entiers\fg).
\item En d\'eduire que si~$m=3$, le syst\`eme~$(\text{S}_m)$ admet une unique solution et donner cette solution.
\end{enumerate}
Dans les questions qui suivent, on ne suppose plus que~$m=3$.
\begin{enumerate}[resume]
\item \'Echelonner le syst\`eme~$(\text{S}_m)$ et montrer qu'il est \'equivalent \`a un syst\`eme~$(\text{S}_m')$ dont la derni\`ere ligne a la forme suivante:
$$ (m^2-m-2)z = \dots $$
o\`u les points de suspension sont \`a remplacer par une expression en fonction de~$m$. En d\'eduire pour quelles valeurs de~$m$ ce syst\`eme admet une solution unique.
\item Quel est l'ensemble des solutions de~$(\text{S}_m)$ lorsque~$m=-1$?
\item Donner pr\'ecism\'ement l'ensemble des solutions de~$(\text{S}_m)$ lorsque~$m=2$.
\item On suppose que~$m\in\R\setminus\{-1,2\}$. R\'esoudre $(\text{S}_m)$. (On pourra commencer par simplifier la derni\`ere ligne du syst\`eme obtenu \`a la question~4 par~$m-2$).
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
On considère la suite de réels $(u_n)_{n\in \N}$ définie, pour tout $n\in \N$ par : \[u_{n}=\dint_{0}^{1} \dfrac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{2}}} \dx{x} .\]
\begin{enumerate}
\item Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée, sur l'intervalle $\cro{0,1}$, de la fonction
$$f : x\longmapsto \ln \left( x+\sqrt{1+x^{2}}\right).$$
\item Calculer $u_{0}$ et $u_1$.
\end{enumerate}
Dans la suite, on ne cherchera pas à calculer $u_n$ pour tout entier $n\in\N$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la monotonie de $(u_n)_{n\in \N}$.
\item Montrer que, pour tout $x\in\cro{0,1}$ : $1\le \sqrt{1+x^{2}}\le \sqrt{2}$.
\item En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ : $\dfrac{\sqrt{2}}{2\left( n+1\right)}\le u_{n}\le \dfrac{1}{n+1}$.
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est convergente, et préciser sa limite.
\end{enumerate}
On pose désormais, pour tout entier $n\ge 3$ : $I_{n}=\dint_{0}^{1} x^{n-2}\sqrt{1+x^{2}} \dx{x}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que, pour tout entier $n\ge 3$, on a : $u_{n}+u_{n-2}=I_{n}$.\label{Q7}
\item Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout entier $n\ge 3$ : $I_{n}=\dfrac{\sqrt{2}-u_{n}}{n-1}$.\label{Q8}
\item Déduire des questions \ref{Q7} et \ref{Q8} que, pour tout entier $n\ge 3$ : $nu_{n}+\left( n-1\right) u_{n-2}=\sqrt{2}$.
\item Montrer que, pour tout entier $n\ge 3$ : $\left( 2n-1\right) u_{n}\le \sqrt{2}$.
\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(nu_{n}\right)_{n\in \N^{\ast }}$ est convergente et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
{\it Dans cet exercice, les questions 4 \`a~6 sont ind\'ependantes des questions 1 \`a~3.} \smallskip

Soit~$n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a~$1$; on pose~$N=2n$. Une urne contient~$N$ boules num\'erot\'ees de~$1$ \`a~$N$; les boules num\'ero~$1$ \`a~$n$ sont rouges et les boules num\'ero~$n+1$ \`a~$N$ sont noires. Soit~$p\in\llbracket 1,N\rrbracket$; on effectue~$p$ tirages dans cette urne. \smallskip

Dans les questions~1 \`a~3, on suppose que les tirages sont effectu\'es simultan\'ement et sans remise.

\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de tirages possibles (on justifiera sa r\'eponse).
\item On suppose que~$p\le n$. Soit~$k\in\llbracket 0,p\rrbracket$. D\'eterminer le nombre de tirages donnant~$k$ boules rouges et~$p-k$ boules noires (on justifiera sa r\'eponse).
\item En prenant~$p=n$ dans les questions~1 et~2, montrer que: $\dsum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.
\end{enumerate}
Dans les questions 4 \`a~6, on suppose que les tirages sont effectu\'es avec remise.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le nombre de tirages possibles (on justifiera sa r\'eponse).
\end{enumerate}
Dans les questions qui suivent, on suppose que~$p$ est pair. Soit~$q\in\N^*$ tel que~$p=2q$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le nombre de tirages o\`u les tirages impairs donnent une boule rouge et les tirages pairs donnent une boule noire, autrement dit o\`u:
\begin{itemize}
\item la premi\`ere, la troisi\`eme, \dots, la~$p-1$-i\`eme boule tir\'ee sont rouges;
\item la deuxi\`eme, la quatri\`eme, \dots, la~$p$-i\`eme boule tir\'ee sont noires.
\end{itemize}
\item Donner le nombre de tirages o\`u apparaissent~$q$ boules rouges et~$q$ boules noires.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit $a,n \in\N^*$.
\begin{enumerate}
\item Simplifier, en justifiant :
\[(a-1)\sum_{k=0}^{n-1} a^k.\]
\item Montrer, avec la question précédente que si $a^n - 1$ est un nombre premier alors $a = 2$.
\end{enumerate}
On pose, dans la suite, $M_n = 2^n - 1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $M_{11}$ ainsi que le reste de la division euclidienne de $2048$ par $23$.
\end{enumerate}
On considère la proposition $\mathscr P$ : \og Si $n$ est premier alors $M_n$ est premier \fg.
\begin{enumerate}[resume]
\item La proposition $\mathscr P$ est-elle vraie ? On justifiera sa réponse.
\item Montrer que la réciproque de $\mathscr P$ est vraie.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}