\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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\begin{document}

\Titre

\consignes{4}{A METTRE}

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $u_n$, définie, pour tout $n \in \N$, $n \geqslant 2$ par :
\[u_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}.\]
On commencera par simplifier l'expression précédente.
\item Déterminer toutes les fonctions $y$ de classe $\mathscr C^1$ sur $\R$ vérifiant $y(0) = \e$ et, pour tout $x \in \R$ : \[y'(x) - \e^x y(x) = 0.\]
\item Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$ : $z^3 = -1$. On donnera les solutions sous forme algébrique.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Dans cet exercice, on fixe un r\'eel~$\alpha\in\croo{-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}}$ et un entier~$n\in\N^*$. On pose~$N=2n+1$, et l'on s'int\'eresse \`a l'\'equation
\begin{equation} \left(\dfrac{1+\i z}{1-\i z}\right)^N = \dfrac{1+\i \tan\alpha}{1-\i\tan\alpha} \label{EqnExComplexes} \tag{E} \end{equation}
d'inconnue~$z\in\C\setminus\{-\i\}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que: $\dfrac{1+\i \tan\alpha}{1-\i\tan\alpha} = \e^{2\i\alpha}$.
\end{enumerate}
On pose, pour tout~$k\in\Z$, $u_k = \e^{2\i(\alpha+k\pi)/N}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit~$z\in\C\setminus\{-\i\}$. Montrer que~$z$ est solution de~\eqref{EqnExComplexes} si et seulement si il existe~$k\in\llbracket 0,N-1\rrbracket$ tel~que
$$ \i\Big(u_k+1\Big) z = u_k-1. $$
\item Montrer que, pour tout~$k\in\Z$, $u_k \neq -1$. On pourra raisonner par l'absurde en montrant que, si~$u_k=-1$, alors~$\alpha$ est congru \`a~$\pi/2$ modulo~$\pi$.
\item Montrer que pour tout~$(k,k')\in\llbracket 0,N-1\rrbracket^2$ tel~que~$k\neq k'$,
$$ \tan\left(\frac{\alpha+k\pi}{N}\right) \neq \tan\left(\frac{\alpha+k'\pi}{N}\right). $$
\item Montrer que, pour tout r\'eel~$\theta$,
$$ \frac{\e^{\i\theta}-1}{\i(\e^{\i\theta}+1)} = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right). $$
En d\'eduire l'ensemble des solutions de l'\'equation~\eqref{EqnExComplexes} et pr\'eciser le nombre de solutions.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit~$f$ la fonction d\'efinie par~$f(x) = \dfrac{\ch x}{\sh x}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que~$f$ est d\'efinie et d\'erivable sur~$\R^*$ et calculer sa d\'eriv\'ee.
\item D\'eterminer une primitive de~$f$ sur~$\R_+^*$
\item Montrer que, pour tout~$x\in\R^*$, $f(x)^2 = 1+\dfrac{1}{\sh^2 x}$.
\end{enumerate}
On consid\`ere d\'esormais l'\'equation diff\'erentielle suivante dont la fonction inconnue est not\'ee~$y$ et la variable~$x$:
\begin{equation} y''+\frac{2 \ch x}{\sh x}y'+y = 0 \label{ED} \tag{E} \end{equation}
Dans la suite de l'exercice, on cherche \`a r\'esoudre~\eqref{ED} sur~$\R_+^*$ (on ne s'int\'eresse pas aux \'eventuelles solutions sur~$\R_-^*$ ou sur~$\R$).

Dans les questions qui suivent, on se donne une fonction~$y$ d\'efinie et deux fois d\'erivable sur~$\R_+^*$, et l'on pose~$z(x) = y'(x)+f(x)y(x)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que~$z$ est d\'efinie et d\'erivable sur~$\R_+^*$ et calculer~$z'$.
\item Pour tout r\'eel~$x$, exprimer $z'(x)+f(x)z(x)$ en fonction de~$y$ et de ses d\'eriv\'ees. En d\'eduire que~$y$ est solution de~\eqref{ED} si et seulement si~$z$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle
\begin{equation} z'+f(x)z = 0 \label{ED2} \tag{E'} \end{equation}
\item Montrer \`a l'aide de la question pr\'ec\'edente que~$y$ est solution de~\eqref{ED} si et seulement si il existe une constante r\'eelle~$\lambda$ telle que~$y$ soit solution de l'\'equation diff\'erentielle d'ordre~1~\eqref{El} suivante:
\begin{equation} y'+ f(x) y = \frac{\lambda}{\sh x} \label{El} \tag{$\text{E}_\lambda$} \end{equation}
\item R\'esoudre, pour~$\lambda\in\R$ fix\'e, l'\'equation diff\'erentielle~\eqref{El}. En d\'eduire l'ensemble des solutions de~\eqref{ED}.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
%DS02-12-2
\par\noindent On étudie dans cet exercice les suites $(v_n)_{n\in\N^*}$ et $(w_n)_{n\in\N^*}$ définies, pour tout $n \in \N^*$ par \[v_n=\dfrac{1}{n} \sqrt[n]{n!} \et w_n=\dfrac{n^n}{n!}\]
\begin{enumerate}
\item Donner une relation simple entre $\ln w_n$ et $\ln v_n$, valable pour tout $n\in\N^*$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\'Etude de $(w_n)$}

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout $n$ entier non nul on a $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\pth{1+\dfrac{1}{n}}^n$.\label{QQ}
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ : $\pth{ 1+\dfrac{1}{n}}^n \ge 2$ (on pourra utiliser la formule du binôme de Newton).
\item \label{q1} En déduire que si $n \in \N$, $n \ge 2$, alors $w_n \ge 2^{n-1}.$ On pourra effectuer une récurrence à l'aide de la question \ref{QQ}. En déduire que la suite $(w_n)$ est divergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\'Etude de $(v_n)$}

\begin{enumerate}[resume]
%\item Grâce à la question \ref{q1}, déterminer un majorant de $v_n$ pour $n \ge 2$.
\item Montrer que $0\le x- \ln(1+x)\le \dfrac{x^2}{2}$ pour tout réel $x\ge 0$.
\item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[ 0\le 1+\ln w_n-\ln w_{n+1} \le \dfrac{1}{2n}.\]
\item Démontrer pour tout entier $n\ge 1$ la relation : $0 \le  n-\ln w_{n+1} \le \dfrac{1}{2}\pth{\dsum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}}$.
\item Démontrer que pour tout entier $k \geqslant 2$ : \[\dfrac{1}{k}\le \ln k-\ln(k-1).\]
On pourra écrire le terme de droite comme une intégrale. En déduire que pour tout $n \in \N^*$ : \[\dsum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \le 1+\ln n.\]
\item Montrer que : \[\pt{n \in \N^*} \dfrac{1}{n+1} \le 1+\ln v_{n+1}\le \dfrac{3}{2(n+1)}+\dfrac{\ln n}{2(n+1)}.\] En déduire que la suite $(v_n)$ converge et donner sa limite.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}

On rappelle que si $E$ est un ensemble, on note $\mathscr P(E)$ l'ensemble des parties (c'est-à-dire des sous-ensembles) de $E$.

\begin{enumerate}
\item On considère $F = \{0,1,2\} \subset \N$. Déterminer $\mathscr P(F)$ ainsi que son nombre d'éléments.
\end{enumerate}

Dans la suite, on considère $E$ un ensemble quelconque.

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $X$, $Y$, $Z$ des sous-ensembles de $E$. On suppose que $X \subset Y$ et $X \subset Z$. A-t-on $X \subset (Y \cap Z)$ ? On justifiera sa réponse. A-t-on $X \subset (Y \cup Z)$ ? On justifiera sa réponse.
\end{enumerate}
Soit $\mathscr F \subset \mathscr P(E)$ un sous-ensemble de $\mathscr P(E)$. On note également dans la suite, $(P_1)$, $(P_2)$, $(P_3)$, $(P_4)$ les propriétés :

\begin{itemize}
\item $(P_1)$ : $\mathscr F \neq \emptyset$;
\item $(P_2)$ : $\forall X,Y \in \mathscr F, \quad  X \cap Y \in \mathscr F$;
\item $(P_3)$ : $\forall X \in \mathscr F, \quad \forall Y \in \mathscr P(E), \quad (X \subset Y \Longrightarrow Y \in  \mathscr F)$;
\item $(P_4)$ : $\emptyset \notin \mathscr F$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que si $\mathscr F$ vérifie $(P_1)$, $(P_2)$, $(P_3)$, $(P_4)$ alors $E \in \mathscr F$.
\item On suppose que $\mathscr F$ vérifie $(P_1)$, $(P_2)$ et $(P_3)$. Montrer que $\mathscr F$ ne vérifie pas la propriété $(P_4)$ si et seulement si~$\mathscr F = \mathscr P(E)$.
\end{enumerate}

Lorsque $\mathscr F$ vérifie $(P_1)$, $(P_2)$, $(P_3)$ et $(P_4)$, on dit que $\mathscr F$ est un \textbf{filtre} sur $E$.

Soit $A$ un sous-ensemble de $E$ \textbf{non vide}.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $\mathscr G = \{ X \subset E \mid A \subset X\}$ est un filtre sur $E$.
\end{enumerate}

\end{exoDS}

\end{document}