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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
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\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
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\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Ensembles
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% Intervalles, parenthèses, normes
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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\begin{document}

\Titre

\consignes{4}{les exercices 1,2,3,6 des exercices 4,5,7}

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont ind\'ependantes.
\begin{enumerate}
\item Lin\'eariser l'expression~$\sin^2 x \cos (2x)$ puis calculer l'int\'egrale $\dint_0^{\pi/6} \sin^2 x \cos (2x) \dx x$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Rappeler l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme de d\'erivation d'une bijection r\'eciproque.
  \item \`A partir de la d\'efinition de l'arctangente et de la d\'eriv\'ee de la tangente, montrer que l'arctangente est d\'erivable sur~$\R$ et donner sa d\'eriv\'ee. Les r\'eponses donnant uniquement la formule finale ne seront pas prises en compte.
\end{enumerate}
\item Soit~$\theta\in[0,\pi]$. On pose~$z=\i-\e^{\i\theta}$. Donner le module de~$z$ et, lorsque cela a un sens, un argument de~$z$. On discutera selon les valeurs de~$\theta$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Dans cet exercice, on s'int\'eresse \`a l'\'equation diff\'erentielle suivante:
\begin{equation} x^2y''-3xy'+4y = x^2+1 \label{ED} \tag{E} \end{equation}
o\`u la variable est not\'ee~$x$ et l'inconnue est une fonction~$y$ d\'efinie et deux fois d\'erivable {\bf \boldmath sur~$\mathbb{\boldmath R}_+^*$} (on ne s'int\'eresse pas aux solutions sur~$\R_-^*$ ni aux \'eventuelles solutions sur~$\R$) et \`a valeurs r\'eelles.
\begin{enumerate}
\item Soit~$y:\R_+^* \to \R$ une fonction deux fois d\'erivable. On pose, pour tout~$t\in\R$, $z(t) = y(\e^t)$.
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que~$z$ est d\'efinie et deux fois d\'erivable sur~$\R$.
  \item Soit~$x\in\R_+^*$. Exprimer~$y'(x)$ puis~$y''(x)$ en fonction de~$z'(x)$, $z''(x)$ et~$x$.
  \item En d\'eduire que~$y$ est solution de~\eqref{ED} si et seulement si~$z$ est solution sur~$\R$ de l'\'equation diff\'erentielle suivante, dont la variable est not\'ee~$t$:
  \begin{equation} z''-4z'+4z = \e^{2t}+1. \label{ED2} \tag{E'} \end{equation}
  \end{enumerate}
\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle~(E').
\item En d\'eduire toutes les solutions de~(E) sur~$\R_+^*$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit~$u$ un nombre complexe de module~1 fix\'e. Le but de l'exercice est de montrer par deux m\'ethodes distinctes que, pour tout r\'eel~$t$,
\begin{equation} \Big|tu-(1-t)\Big| \ge \left|\frac{u-1}{2}\right| \label{ineg} \tag{I} \end{equation}
et qu'il y a \'egalit\'e dans~\eqref{ineg} si et seulement si~$t=\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
\item {\it Premi\`ere m\'ethode.} On note~$u=a+\i b$ o\`u~$a,b$ sont des nombres r\'eels.
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout r\'eel~$t$, \'ecrire l'expression $|tu+(1-t)|^2$ comme un polyn\^ome de degr\'e~2 (par rapport \`a la variable~$t$). On simplifiera les coefficients au maximum en tenant compte du fait que~$|u|=1$.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\item {\it Deuxi\`eme m\'ethode.} On munit le plan d'un rep\`ere orthonorm\'e $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$; toutes les affixes seront exprim\'ees dans ce rep\`ere.

  On note~$A$ le point d'affixe~$u$, $B$ le point d'affixe~$-1$ et $C$ le milieu de~$[AB]$. Pour tout~$t\in\R$, on note de plus~$M(t)$ le point d'affixe~$tu-(1-t)$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que~$O$ appartient \`a la m\'ediatrice de~$[AB]$, et que, pour tout r\'eel~$t$,~$M(t)$ appartient \`a la droite~$(AB)$.
  \item Faire un dessin. Pour tout r\'eel~$t$, exprimer~$OM(t)$ en fonction de~$OC$ et de~$AB$.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}%DS42016-2017
Pour tout $n \in \N$, on pose,

\[ I_n = \int_0^1 (1-t)^n \sqrt{t} \dx{t}.\]

\begin{enumerate}
%\item Déterminer une primitive, sur un intervalle qu'on précisera de $\varphi : t \mapsto \sqrt{t}$ (on remarquera que $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$).
\item Calculer $I_0$.
\item En effectuant une intégration par parties, calculer $I_1$.
\item Montrer, que pour tout $n \in \N$,

\[I_{n+1} = \frac{2(n+1)}{2n+5} I_n.\]

On pourra s'inspirer de la question précédente.

%\[I_{n+1} = (n+1) \int_0^1 (1-t)^n \frac{2}{3}t^\frac{3}{2} \dx{t} = \frac{2}{3}(n+1)(I_{n} - I_{n+1}).\]
%
%\item En déduire une relation, pour tout $n \in \N$, entre $I_{n+1}$ et $I_n$.

\item Calculer $I_2$.
\item On pose, pour tout $n \in \N$,

\[ \alpha_n = \frac{(2n+3)! \times I_n}{(n+1) \times \big( n!\big)^2}.\]

Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n\in\N}$ est géométrique.

\item Déterminer une formule pour la suite suite $(I_n)_{n\in\N}$.
%\item Quelle est la limite de la suite $(I_n)_{n\in\N}$ ?
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}

Soit $z \in \C$ un nombre complexe non nul. Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vect{i},\vect{j})$. On considère les points $M$, $N$, $P$ d'affixe respectifs $z$, $z^2$ et $\frac{1}{z}$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre successivement les équations $z = z^2$, $z = \frac{1}{z}$. En déduire l'ensemble des complexes $z$ tels que $M \neq N$ et $M \neq P$. On notera $\Delta$ cet ensemble.
\end{enumerate}

On suppose dans toute la suite que $z \in \Delta$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $M$, $N$ et $P$ sont alignés si et seulement si \[\frac{1+z}{z^2} \in \R.\]
\item Montrer que
\[\frac{1+z}{z^2} \in \R \Longleftrightarrow (\overline{z} - z) (\lvert z + 1\rvert^2 -1) = 0.\]
\item Caractériser géométriquement l'ensemble des points $M$ tel que $M$, $N$, $P$ sont alignés.
%\item On suppose dans cette question que $z = -\frac{3}{2} + \i \frac{\sqrt{3}}{2}$. Construire, en expliquant sa construction, comment construire $M$, $N$, $P$ avec une règle non graduée et un compas, les points $M$, $N$ et $P$. On prendra une unité arbitraire pour le repère.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
  Dans cet exercice, on s'int\'eresse \`a l'\'equation suivante:
  \begin{equation} 2\Arcsin x = \Arcsin(2x\sqrt{1-x^2}). \tag{E} \label{E} \end{equation}
  \begin{enumerate}
  \item Dans cette question, on cherche \`a d\'eterminer l'ensemble de d\'efinition des deux membres de l'\'equation~(E).
    \begin{enumerate}
    \item Dire pour quel(s) r\'eel(s)~$x$ le r\'eel~$\sqrt{1-x^2}$ est bien d\'efini et montrer que pour un tel~$x$,
      $$ 0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1. $$
    \item Montrer que pour tout~$(a,b)\in\R^2$,
      $$ -\frac{a^2+b^2}{2} \le ab \le \frac{a^2+b^2}{2}. $$
    \item \`A l'aide des deux questions pr\'ec\'edentes, justifier que les deux membres de l'\'equation~\eqref{E} sont d\'efinis si et seulement si~$x\in[-1,1]$.
    \end{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout~$x\in~[-1,1]$, $\sin(2\Arcsin x) = 2x\sqrt{1-x^2}$.
  \item Soit~$y\in[-\pi,\pi]$. Simplifier l'expression~$\Arcsin(\sin y)$ (on distinguera trois cas selon les valeurs de~$y$).
  \item Montrer que l'\'equation~\eqref{E} admet l'intervalle~$\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ comme ensemble de solutions.

{\it Indication:} on pourra, \'etant donn\'e~$x\in[-1,1]$, poser~$y=2\Arcsin x$ et utiliser les deux questions pr\'ec\'edentes.
  \end{enumerate}

\end{exoDS}

\begin{exoDS}%DS62016-2017
Soit $a,b \in \R$ avec $|a|<1$. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble $\mathscr E$ des fonctions $f$, définies et continues sur $\R$ qui vérifient pour tout réel $x$ : \begin{equation}
f(ax+b) = f(x).\label{E}\tag{E}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les fonctions constantes sur $\R$ sont des éléments de $\mathscr E$.
\end{enumerate}

On considère réciproquement une fonction $f \in \mathscr E$. Soit $x \in \R$. On introduit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par récurrence par $u_0 = x$ et pour tout $n \in \N$ : $$u_{n+1} = au_n+b$$ et on pose $r = \displaystyle \frac{b}{1-a}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $f(u_n) = f(u_0) = f(x)$.
%\item On introduit la suite $(v_n)_{n\in\N}$ : pour tout $n \in \N$, $v_n = u_n -r$. Montrer, en utilisant la définition de $(u_n)_{n\in\N}$, que pour tout $n \in \N$ : $$ v_{n+1} = a\,v_n.$$
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ : \[u_n = a^n\, (u_0 - r) + r\]
puis justifier que $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente vers une limite qu'on précisera.
%\item Justifier que la suite $(f(u_n))_{n\in\N}$ est convergente et que $\lim \limits_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\frac{b}{1-a})$.
\item Conclure que $f$ est constante.
\end{enumerate}
Dans les question \ref{Q1} à \ref{Q2}, on conserve les hypothèses pour l'ensemble $\mathscr E$ mais on suppose que $|a| \geq 1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item \label{Q1}Déterminer \eqref{E} lorsque $a = 1$ et $b = 0$.%Si $a = 1$ et que $b \neq 0$, quel nom donne-t-on aux fonctions satisfaisant l'équation \eqref{E} ?
\item \label{Q2}Si $|a| \neq 1$ et que $f\in \mathscr E$ montrer pour tout $x \in \R$ que $f(\frac{1}{a} x - \frac{b}{a}) = f(x)$ puis conclure avec la partie précédente que $f$ est constante.
\end{enumerate}
On ne suppose plus aucune hypothèse sur $a$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer \eqref{E} dans tous les cas.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}