\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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%% En-tête (contenu de enteteDS.tex)
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\usepackage[european resistors]{circuitikz}  	% circuits électriques
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\usepackage{array}
\usepackage{esint}
\usepackage{enumitem}							% Listes customisées.

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\fancyfoot[L]{Lyc\'ee Jules Ferry -- Versailles}
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\newcommand{\Titre}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries DS\numeroDS
\end{textblock}
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\noindent \rule{\textwidth}{1pt}
\end{textblock}}

\newcommand{\Titrecorrige}{\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.023)
\huge\centering \bfseries Proposition de corrigé du DS\numeroDS
\end{textblock}
\begin{textblock}{1}[0.5,0.5](0.5,-0.001)
\noindent \rule{\textwidth}{1pt}
\end{textblock}}

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\newcounter{DM}
\newenvironment{exoDS}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\textbf{\refstepcounter{DM}Exercice DS\numeroDS.\theDM}{\vspace{1em}\par}}

\newcommand\consignes[2]{\textit{Dur\'ee : #1h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge \`a gauche de votre copie pour les annotations (les marges d\'ej\`a faites sur certaines copies suffisent). Si vous rep\'erez une éventuelle erreur d'\'enonc\'e, faites le figurer sur votre copie. La présentation est prise en compte dans l'évaluation : pensez à encadrer vos résultats. \textbf{Vous s\'eparerez, dans vos copies, #2}}}

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%% Macros (extraites de commandes.tex)
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% Ensembles
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% Intervalles, parenthèses, normes
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\newcommand{\croof}[1]{\left] #1 \right]}
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% Logique
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% Sommes, intégrales
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% Algèbre linéaire
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% Analyse
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% Géométrie
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% Encadrer dans align*
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\begin{document}

\Titre

\consignes{2}{les exercices 1,2,4 des exercices 3,5.}

\begin{exoDS}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction tangente, notée $\tan$, et montrer que pour tout réel $x \in D$, $\tan(-x) = -\tan(x)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation, d'inconnue $x \in \R$ : $\lvert x - 2\rvert < 1$. On écrira cet ensemble sous forme d'un intervalle.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit $m$ un réel fixé. On considère la fonction
\[f_m : x \mapsto \frac{(m-1)x+1}{mx-1}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f_m$ qu'on notera $\mathscr D_m$.
\item On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct. Montrer que toutes les courbes $\mathscr C_m$ de $f_m$ passent par le point $A$ de coordonnées $(0,-1)$.
\item Déterminer les limites de $f_m$ aux bornes de $\mathscr D_m$.
\item Donner les variations de $f_m$ (on pourra distinguer les cas selon la valeur du réel $m$).
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue $x \in \R$ : $f_m(x) = 1$.
%\item Déterminer une expression simple de la fonction $f_m \circ f_{m+1}$.
%\item Déterminer tous les réels $m$ tel que $f_m \circ f_{m+1}$ est la fonction $x \mapsto\frac{3}{2 - x} - 2$.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Dans cet exercice, on s'int\'eresse \`a l'\'equation suivante d'inconnue r\'eelle~$\theta$:
\begin{equation} \cos\theta\cos(3\theta)=b \tag{E} \label{eqn} \end{equation}
o\`u~$b$ est un param\`etre r\'eel.
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre \eqref{eqn} lorsque~$b=0$.
\end{enumerate}
Dans les questions \ref{q2} \`a \ref{q4}, on cherche \`a d\'eterminer les r\'eels~$b$ tels que l'\'equation~\eqref{eqn} ait au moins une solution.
\begin{enumerate}[resume]
\item \label{q2} Montrer que pour tout r\'eel~$\theta$,
$$ \cos\theta\cos(3\theta) = \cos^2(2\theta)+\frac{1}{2}\cos(2\theta)-\frac{1}{2}. $$
\item On d\'efinit la fonction\[f : x \mapsto x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}.\] Dresser le tableau de variations de~$f$ sur~$\R$ puis sur~$[-1,1]$. On pr\'ecisera la valeur du minimum de~$f$ et le point en lequel il est atteint.
\item \label{q4} En d\'eduire que l'\'equation~$\eqref{eqn}$ admet au moins une solution si et seulement si~$b\in\left[-\dfrac{9}{16},1\right]$. On justifiera soigneusement sa r\'eponse.
\item On souhaite r\'esoudre l'\'equation~\eqref{eqn} lorsque~$b=1$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les r\'eels~$x$ tels~que $f(x)=1$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\newpage

\begin{exoDS}
On considère l’équation, d'inconnue $x \in \R$ :
\begin{equation}
\tan^2(3x) - 2 \sqrt{2} \tan(3x) + 1 = 0.
\tag{E}\label{equation:1}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l’équation \eqref{equation:1} a un sens.
\item Résoudre l’équation, d'inconnue $X \in \R$ : $X^2 - 2 \sqrt{2} X + 1 = 0$.
\item Exprimer, en précisant pour quels réels $x$ cela a un sens, $\tan(2x)$ en fonction de $\tan(x)$ et en déduire $\tan\left( \frac{\pi}{8}\right)$.
\item Exprimer très simplement $3\pi/8$ en fonction de $\pi/2$ et $\pi/8$ pour en déduire $\tan\left( \frac{3\pi}{8}\right)$.
\item Résoudre finalement \eqref{equation:1}.
\end{enumerate}
\end{exoDS}

\begin{exoDS}
Soit~$f$ la fonction d\'efinie par $f : x \mapsto \dfrac{1}{2}\Big(1-\sqrt{1-x}\Big)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de d\'efinition de~$f$ qu'on notera~$\mathcal{D}$.
\item Montrer que, pour tout~$x\in[0,1]$, $0 \le f(x) \le x$.
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on fixe un r\'eel~$a\in [0,1]$, et on consid\`ere la suite $(u_n)_n$ d\'efinie par
$$ \left\{ \begin{array}{l}
u_0 = a, \\[1mm] \forall n\in\N,\; u_{n+1}=f(u_n). \end{array}\right.
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer par r\'ecurrence que, pour tout~$n\in\N$, $u_n \in [0,1]$ (on pourra utiliser la question 2).
\end{enumerate}
Ceci permet en particulier d'en d\'eduire que, pour tout~$n\in\N$, $u_n\in\mathcal{D}$ : ainsi, la suite ne \og sort\fg\@ jamais de l'ensemble de d\'efinition de~$f$ et est donc bien d\'efinie.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le sens de variations de $(u_n)_n$ (on pourra utiliser les questions 2 et 3) et montrer qu'elle est convergente.
\item On note~$l$ la limite de $(u_n)_n$. Montrer que: $l = \dfrac{1}{2}(1-\sqrt{1-l})$ et en d\'eduire la valeur de~$l$.
\end{enumerate}
%Dans la suite de l'exercice, on se propose de retrouver le r\'esultat pr\'ec\'edent par une autre m\'ethode.
%\begin{enumerate}[resume]
%\item Justifier l'existence d'un r\'eel~$\theta\in[0,\pi/2]$ tel que $a = \sin^2\theta$.
%\item Montrer par r\'ecurrence sur~$n$ que: $\forall n\in\N,\; u_n = \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2^n}\right)$.
%\item Conclure.
%\end{enumerate}
\end{exoDS}

\end{document}