\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Mathematiques
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  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS7 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
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\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
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  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

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%  Exercices et numerotation des questions
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  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
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% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
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% Delimiteurs
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% Operateurs en style « display »
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% Fonctions et operateurs
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% Logique
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% Encadre sur une ligne d'un environnement align
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% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
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  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie. \textbf{Vous séparerez, dans vos copies, les exercices 1,2,3,5 de l'exercice 4.}}

\bigskip

\begin{Exo}
Les questions de cet exercice sont ind\'ependantes.
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer, sans démonstration, la formule de Taylor pour un polyn\^ome $P \in \K[X]$.
\item Montrer que, pour un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$, $ \Ker f \subset \Ker f \circ f$.
\item Déterminer, en justifiant, la valeur de l'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n \in \N^*$ et $p \in [0,1]$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Dans cet exercice, on consid\`ere la fonction
  $$ f : x \longmapsto \int_x^{x^2} \frac{\text{d}t}{\ln t}. $$
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que~$f$ est d\'efinie sur l'ensemble~$\mathcal{D}=]0,1[\cup]1,+\infty[$.
  \item \'Etudier les variations de~$f$ sur~$\mathcal{D}$ (on ne demande pas de calculer les limites de~$f$ aux bornes de~$\mathcal{D}$).
  \item
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*.]
    \item Soit~$x\in\mathcal{D}$. On pose
      $$ I(x) = \int_x^{x^2} \frac{\text{d}t}{t\ln t}  $$
      Justifier que~$I(x)$ est bien d\'efinie et calculer sa valeur.
    \item \label{Q32} Soit~$x\in]1,+\infty[$. Montrer que:
      $$ \forall t \in \left[x,x^2\right],\; \frac{x}{t\ln t} \leqslant \frac{1}{\ln t} \leqslant \frac{x^2}{t\ln t}. $$
    \item \label{Q33} En d\'eduire que: $f(x) \xrightarrow[\substack{x\to 1 \\ x > 1}]{} \ln 2$ et donner la limite de~$f$ en~$+\infty$.
    \item D\'eterminer les limites de~$f$ en~$0$ et en~$1^-$ et montrer qu'elle se prolonge en une fonction continue sur~$\R_+$. On raisonnera comme aux questions~\ref{Q32} et~\ref{Q33}, mais en prenant garde \`a l'ordre des bornes dans les int\'egrales et au sens des in\'egalit\'es que l'on \'ecrira.
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}
  Dans la suite de l'exercice, on note toujours~$f$ le prolongement obtenu \`a la question 3.4.
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Montrer que~$f$ est de classe~$\mathscr{C}^1$ sur~$\R_+$. On pourra poser~$x=1+h$ pour \'etudier le comportement de~$f'$ en~1, et on citera pr\'ecis\'ement le th\'eor\`eme utilis\'e et ses hypoth\`eses.
  \item On pose pour~$x \in[-1,+\infty[$: $g(x)=f(1+x)$.
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*.]
    \item Montrer que~$g$ est d\'erivable sur~$[-1,+\infty[$ et que, pour tout~$x\in]-1,+\infty[\setminus\{0\}$,
        $$ g'(x) = \frac{x}{\ln(1+x)}. $$
    \item Donner le d\'eveloppement limit\'e d'ordre~3 de~$g$ au voisinage de~0.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*]
    \item Soit~$x\in]1,+\infty[$. Quel est le minimum de la fonction~$t\mapsto \dfrac{1}{\ln t}$ sur~$[x,x^2]$?
      \item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que~$\dfrac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{} +\infty$. Est-il possible que la courbe repr\'esentative de~$f$ admette une asymptote oblique en~$+\infty$?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
On joue $N \geqslant 3$ parties à un jeu dont la difficulté est croissante entre chaque partie : on suppose qu'on a une probabilité égale à $\dfrac{1}{k}$ de réussir la $k$-ième partie, et que les différentes parties sont mutuellement indépendantes. Soit $X_N$ la variable aléatoire égale au nombre de parties effectuées avant le premier échec. Ainsi, pour $k\in \Cro{0, N-1}$ l'événement $(X_N\!=\!k)$ est réalisé lorsqu'on a perdu à la $(k\!+\!1)$-ième partie et l'événement $(X_N\!=\!N)$ signifie qu'on a gagné toutes les parties.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X_N=N)$.
\item Montrer que $P(X_N=k) = \dfrac{k}{(k+1)!}$ pour $k \in \Cro{1,N-1}$.
\end{enumerate}
On pose, pour tout $n \in \N$ :
\[S_n = \dsum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}.\]
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $E(X_N)=S_N-1$.
\end{enumerate}
Soit $Z_N$ la variable aléatoire définie par $Z_N=(X_N+1)(X_N-1)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer $E(Z_N)$ en fonction de $S_{N-3}$ et de $N$.
\item En déduire $V(X_N)$ en fonction de $S_N$, $S_{N-3}$ et $N$.
\item Montrer que $\lim\limits_{N\to +\infty} S_N=e$.
\item Calculer $\lim\limits_{N\to +\infty} E(X_N)$ et $\lim\limits_{N\to +\infty} V(X_N)$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Ce problème étudie une application qui permet de calculer certaines sommes complexes. On rappelle que si~$P(X)$ est un polynôme, le polynôme $P(X+1)$ est le polynôme où l'on a remplacé l'indéterminée $X$ par~$X+1$ : par exemple, si $P(X) = X^4$, $P(X+1) = (X+1)^4$ et si $P(X) = 1 = X^0$, $P(X+1) = (X+1)^0 = 1$. On fixe $n \in \N^*$.

\noindent\textbf{Questions préliminaires}

\noindent On rappelle que si $P \in \K[X]$, on dit que $\alpha \in \K$ est une racine de $P$ lorsque $P(\alpha) = 0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\alpha$ est une racine d'un polynôme $P\in\K[X]$ alors il existe $Q \in \K[X]$ tel que $P = (X - \alpha)Q$.
\item En déduire qu'un polynôme $P\in\K[X]$ non nul possède au plus $\deg(P)$ racines distinctes.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Définition de $\Delta$}

\noindent
On introduit l'ensemble $$V = \left\{ P \in \R_n[X] \ | \ P(0) = 0 \right\}.$$
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$.
\item Montrer que $(X,X^2,\dots,X^n)$ est une famille génératrice de $V$.
\item Déterminer la dimension de $V$.
\item Montrer que si $P\in\R_n[X]$ alors $P(X+1) - P(X) \in \R_{n-1}[X]$.
\end{enumerate}
\noindent On peut ainsi introduire l'application :

$$ \begin{array}{rcl}
\Delta : V &\longrightarrow& \R_{n-1}[X] \\
     P &\longmapsto& P(X+1) - P(X)
\end{array}.$$

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $\Delta$ est une application linéaire.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Bijectivité de $\Delta$}
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que $\Delta$ est un isomorphisme. On pourra montrer que si $P$ est un élément du noyau de $\Delta$ alors il a une infinité de racines et utiliser les questions préliminaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Une application}

\noindent On introduit les polynômes : $$B_0 = 1, \quad B_1 = X, \quad B_2 = \frac{1}{2}\,X\,(X-1), \quad B_3 = \frac{1}{6}\, X\,(X-1)\,(X-2).$$ On suppose dans la suite que $n = 3$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $\Delta(B_i)$ pour $i = 1,2,3$.
\item Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q(X) \in V$ tel que $\Delta(Q) = X^2$.
\item Déterminer des scalaires $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2$ réels tel que $X^2 = \displaystyle \sum_{i=0}^2 \lambda_i B_{i}$.
\item En déduire une formule pour $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2$ en fonction de $Q$ puis directement en fonction de $n$.
\item De façon générale, comment obtient-on une expression simple de $\displaystyle \sum_{i=1}^n i^k$ lorsque $k \in \N$ ?
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Dans tout l'exercice,~$n$ est un entier naturel fix\'e, et on consid\`eres les polyn\^omes suivants:
  \begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item $Q = X^n(1-X)^n$;
  \item pour tout~$k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $U_k = X^k(1-X)^{n-k}$;
  \item pour tout~$k\in\N$, $V_k = \left(X-\dfrac{1}{2}\right)^k$.
  \end{itemize}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*.]
    \item Soit~$k\in\N$. Donner le degr\'e de~$V_k$ et son coefficient dominant. Si~$k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, donner le degr\'e de~$U_k$ et son coefficient dominant.
    \item Justifier que, pour tout~$p\in\N$, $(V_0,\dots,V_p)$ est une base de~$\R_p[X]$.
    \item Montrer que~$(U_0,\dots,U_n)$ est une base de~$\R_n[X]$. On pourra montrer par r\'ecurrence sur~$q$ que, pour tout~$q\in\llbracket 0,n\rrbracket$, la famille~$(U_0,\dots,U_q)$ est libre.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

  \noindent Dans toute la suite de l'exercice, si~$d$ est un entier naturel,~$P\in\R_d[X]$ et~$(P_0,\dots,P_d)$ est une base de~$\R_d[X]$, \og exprimer~$P$ dans la base~$(P_0,P_1,\dots,P_d)$\fg\@ signifie l'\'ecrire sous la forme
  $$ P = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \dots + \alpha_d P_d = \sum\limits_{k=0}^d \alpha_k P_k $$
  o\`u $\alpha_0,\dots,\alpha_d$ sont des r\'eels qu'on appellera \og coordonn\'ees de~$P$ dans la base~$(P_0,P_1,\dots,P_d)$\fg. On rappelle \'egalement que, pour tout~$P\in\K[X]$ et pour tout~$k\in\N$, $P^{(k)}$ d\'esigne le polyn\^ome d\'eriv\'e~$k$-i\`eme de~$P$.
  \begin{enumerate}[resume]
  \item
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*.]
    \item Soit~$p\in\N$. Montrer que, pour tout~$q\in\N$,
      $$ \begin{array}{lrl} & (X^p)^{(q)} & = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{p!}{(p-q)!} X^{p-q} \text{ si } q\leqslant p, \\ 0 \text{ sinon}\end{array}\right. \\[8mm] \text{et} \qquad & ((1-X)^p)^{(q)} & = \left\{ \begin{array}{l} (-1)^q \dfrac{p!}{(p-q)!} (1-X)^{p-q} \text{ si } q\leqslant p \\ 0 \text{ sinon.}\end{array}\right. \end{array} $$
    \item Justifier que~$Q^{(n)}$ appartient \`a~$\R_n[X]$ et exprimer~$Q^{(n)}$ dans la base~$(U_0,U_1,\dots,U_n)$. On pourra utiliser la formule de Leibnitz.
    \item Montrer que: $Q^{(n)}(1/2) = \displaystyle \frac{n!}{2^n} \cdot \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (-1)^k$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}[label=\theenumi.\arabic*.]
    \item Montrer que: $Q(X) = \left(\dfrac{1}{4}-\left(X-\dfrac{1}{2}\right)^2\right)^n$.
    \item Montrer que~$Q\in \R_{2n}[X]$ et l'exprimer dans la base~$(V_0,\dots,V_{2n})$.
    \item Montrer que pour tout~$d\in\N$, pour tout~$P\in\R[X]$ de degr\'e~$d$, les coordonn\'ees de~$P$ dans la base~$(V_0,V_1,V_2,\dots,V_d)$ sont
      $$ \frac{P(1/2)}{0!},\, \frac{P'(1/2)}{1!},\, \frac{P''(1/2)}{2!},\, \dots, \, \frac{P^{(d)}(1/2)}{d!}.$$
    \item En d\'eduire que pour tout~$j\in\llbracket 0,2n\rrbracket$, $Q^{(j)}(1/2)$ est nul si~$j$ est impair, et l'exprimer en fonction de~$j$ et~$n$ si~$j$ est pair.
    \end{enumerate}
  \item D\'emontrer la formule:
    $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (-1)^k = \left\{ \begin{array}{ll} (-1)^{n/2} \binom{n}{n/2} & \text{si } n \text{ est pair,} \\ 0 & \text{si } n \text{ est impair.} \end{array}\right.$$
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}