\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Encodage, langue, polices
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%  Mathematiques
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\usepackage{stmaryrd}                 % \llbracket, \rrbracket
\SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n}

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%  Mise en page
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\usepackage{fancyhdr}
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%  Figures et tableaux de variations
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\usepackage{tkz-tab}

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%  Metadonnees du PDF
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  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS6 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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\newcommand{\indexation}{\begin{tabular}{r}\TD\\ Mathématiques\end{tabular}}

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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
\fancyhead[R]{\large\indexation}
\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
\fancyfoot[R]{\textbf{\thepage/\pageref{LastPage}}}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

% =====================================================================
%  Exercices et numerotation des questions
% =====================================================================
\newcounter{Exo}
\renewcommand{\theExo}{\TD.\arabic{Exo}.}
\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

% =====================================================================
%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\newcommand{\dx}[1]{\,\mathrm{d}#1}
% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\croof}[1]{\left]#1\right]}
\newcommand{\Cro}[1]{\llbracket #1\rrbracket}
% Delimiteurs
\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
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% Operateurs en style « display »
\newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}
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% Fonctions et operateurs
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
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\newcommand{\Ck}[1]{\mathscr{C}^{#1}}
% Logique
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\newcommand{\pt}[1]{\forall #1,\ }
% Encadre sur une ligne d'un environnement align
\newcommand{\boxedalign}[2]{\Aboxed{#1 & #2}}

% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie. \textbf{Vous séparerez, dans vos copies, les exercices 1,2,4 des exercices 3,5.}}

\bigskip

\begin{Exo}
  Les questions de cet exercice sont ind\'ependantes.
  \begin{enumerate}
  \item Donner le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre~2 au voisinage de~0 de la fonction $x\mapsto \dfrac{\ln x}{\e^x-1}$.
  \item Soit~$n\in \N^*$ et soit~$(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n$. On suppose que les r\'eels~$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ sont deux \`a deux distincts. Montrer que la famille form\'ee par les fonctions
    $$ f_1:x\mapsto \e^{\alpha_1 x},\; f_2:x\mapsto \e^{\alpha_2 x},\; \dots,\; f_n:x\mapsto \e^{\alpha_n x} $$
    est une famille libre de l'espace vectoriel~$\mathscr{F}(\R,\R)$.
  \item Une usine confie la livraison de ses articles aux clients \`a un transporteur. On suppose que:
    \begin{itemize}
    \item si le transporteur n'a pas d'accident, l'article parvient au client en bon \'etat dans neuf cas sur~dix;
    \item si le transporteur a un accident, l'article parvient au client en bon \'etat dans trois cas sur~dix;
    \item le transporteur a un accident dans deux trajets sur~dix.
    \end{itemize}
    Un client re\c{c}oit un article en mauvais \'etat. Quelle est la probabilit\'e que le transporteur ait eu un accident durant le trajet?
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Dans tout l'exercice, on travaille dans le $\R$-espace vectoriel~$E=\R^4$. On consid\`ere les vecteurs suivants:
  $$ e_1 = (1,0,1,0),\; e_2 = (0,1,0,1),\; f_1 = (2,1,0,0),\; f_2 = (0,0,1,2)$$
  ainsi que les ensembles $ F = \Big\{ (x,y,z,t)\in E \,:\, x-2y = 0 \; \text{et}\; 2z-t = 0 \Big\}$ et $G = \Vect(e_1,e_2) $.
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Justifier que~$F$ et~$G$ sont des sous-espaces vectoriels de~$E$.
    \item Donner une base de~$G$ et montrer que la famille~$(f_1,f_2)$ est une base de~$F$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit~$(\lambda,\mu)\in\R^2$. Montrer que si~$\lambda e_1+\mu e_2 \in F$, alors $\lambda=\mu=0$.
    \item En d\'eduire l'ensemble~$F\cap G$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que la famille~$(e_1,e_2,f_1,f_2)$ est une base de~$E$.
    \item En d\'eduire que tout vecteur de~$E$ peut s'\'ecrire comme la somme d'un vecteur de~$F$ et d'un vecteur de~$G$.
    \end{enumerate}
  \item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que~$F$ et~$G$ sont deux espaces vectoriels suppl\'ementaires de~$E$.
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Un joueur souhaite acheter une voiture de luxe au-dessus de ses moyens et pour cela il se rend au casino. Le prix
de la voiture correspond à $N \in \N$, $N \geq 2$ jetons et le joueur reçoit une mise initiale de $n \in \llbracket 0,N \rrbracket$ jetons.

\smallskip

Il joue à un jeu où la probabilité qu'il gagne un jeton est $p \in ]0,1[$, $p \neq 1/2$ et la probabilité qu'il perde un jeton est $1-p$. Il joue plusieurs fois, de manière indépendante, à ce jeu.

\smallskip

Le jeu se termine soit par la ruine du joueur, dès qu'il n'a plus de jeton (il n'y a donc aucun lancer si $n = 0$), soit par sa victoire, dès qu'il a obtenu $N$ jetons.

\medskip

On notera $u_n$ la probabilité que le joueur soit ruiné avec une mise initiale de $n$ jetons.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_0$ et $u_N$.
\item On suppose ici que $n \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$. On considère les événements $E_{n}$ : \og le joueur est ruiné avec une mise initiale de $n$ jetons \fg{} %conditionnant par le système complet d'événement
et $G_1$~:~\og le premier jeu est gagné \fg{}.
Justifier que pour tout $n \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$, \[P(E_n | G_1) = u_{n+1}.\]
\item En utilisant notamment la question précédente, montrer que pour tout $n \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$ : \[u_{n} = p\,u_{n+1} + (1-p)\,u_{n-1}.\]
\item Montrer que que pour tout $n \in \N^*$, $$ u_n = 1 - \frac{x^n-1}{x^N-1} \quad \text{où} \quad  x = \frac{1-p}{p}.$$
\item Donner, lorsque $k \in \N^*$, un équivalent simple en $1$ de $x \mapsto x^k -1$.
\item En déduire la limite de $u_n$ (qui dépend de $x$) lorsque $x$ tend vers $1$. Interpréter le résultat (on remarquera que la limite lorsque $x$ tend vers 1 correspond à la limite lorsque $p$ tend vers $1/2$).
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
\newcounter{NumQuestion}
  Dans tout l'exercice, $\K=\R$ ou~$\C$. \'Etant donn\'ee une matrice carr\'ee~$A$ de taille~$n\in\N^*$ et \`a coefficients dans~$\K$, on note $\mathscr{E}_A$ l'ensemble des combinaisons lin\'eaires des puissances de~$A$,~{\it i.e.}
  $$ \mathscr{E}_A = \left\{ \sum\limits_{k=0}^p a_k A^k \,:\, p\in\N,\; (a_0,a_1,\dots,a_p) \in \K^{p+1}\right\}\,; $$
  les \'el\'ements de~$\mathscr{E}_A$ sont appel\'es les {\it polyn\^omes en~$A$}.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\mathscr{E}_A$ est un sous-espace vectoriel de~$M_n(\K)$.
    \setcounter{NumQuestion}{\theenumi}
  \end{enumerate}
  L'objectif de l'exercice est de d\'eterminer une base de~$\mathscr{E}_A$ dans certains cas particuliers. \smallskip

  \smallskip

  \noindent {\bf Partie A: un cas particulier en taille~3} \smallskip

  Dans cette partie, on suppose que~$A$ est la matrice $ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ et on note~$M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{\theNumQuestion}
  \item Calculer~$M^2$ et~$M^3$.
  \item Donner une expression simple de~$A$ en fonction de~$I_3$ et~$M$.
  \item \label{BinNewton} Montrer que, pour tout~$k\in\N$: $ \exists (u_k,v_k,w_k)\in\K^3,\; A^k = u_k I_3 + v_k M + w_k M^2.  $
  \item Montrer que~$(I_3,M,M^2)$ est une base de~$\mathscr{E}_A$.
    \setcounter{NumQuestion}{\theenumi}
  \end{enumerate}
  \smallskip

  \noindent {\bf Partie~B: un cas plus g\'en\'eral en taille quelconque}
  \smallskip

  Dans cette partie, les matrices consid\'er\'ees sont dans~$M_n(\K)$, o\`u~$n\geq 2$ est un entier naturel quelconque. On suppose qu'il existe une matrice~$N$ non nulle, un entier naturel~$p\geq 2$ et un scalaire~$\mu\neq 0$ tel que:
  $$  A = \mu I_n + N \quad\text{et}\quad N^p = 0_n $$
  o\`u $0_n$ est la matrice nulle en taille~$n$.
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{\theNumQuestion}
  \item Justifier que l'ensemble $\Big\{ j \in \N \,:\, N^j = 0_n \Big\}$ admet un plus petit \'el\'ement, et que cet \'el\'ement est sup\'erieur ou \'egal \`a~2. On le note~$q$.
    \setcounter{NumQuestion}{\theenumi}
  \end{enumerate}
  Ainsi, l'entier naturel~$q$ v\'erifie
  $$ N\neq 0_n,\; N^2 \neq 0_n,\; \dots, N^{q-1}\neq 0_n \quad\text{et} \quad N^q = 0_n. $$
    \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{\theNumQuestion}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit~$(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_{q-1})\in\K^q$ tel que
      $$ \lambda_0I_n + \lambda_1 N + \lambda_2N^2+\dots+\lambda_{q-1} N^{q-1} = 0_n. $$
      \`A quoi est \'egale la matrice $N^{q-1}\cdot \Big(\lambda_0 I_n + \lambda_1 N + \dots + \lambda_{q-1} N^{q-1}\Big)$?
    \item Montrer que la famille $(I_n,N,N^2,\dots,N^{q-1})$ est libre dans~$M_n(\K)$.
    \end{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout~$k\in\N$, la matrice~$A^k$ est une combinaison lin\'eaire des matrices $I_n$, $N$, $N^2,\dots,N^{q-1}$.
  \item Montrer que la famille~$(I_n,N,N^2,\dots,N^{q-1})$ est une base de~$\mathscr{E}_A$.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\newpage

\begin{Exo}
\noindent \textbf{Partie I : \'Etude d'une fonction}

On considère la fonction $f : x \mapsto 3x\exp(-x^2)-1$. On notera $\mathscr C_f$ la courbe représentative de $f$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $\R$, ainsi que les limites aux bornes du domaine de définition. Donner le tableau de variations de $f$. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe de $f$.
\item  Pourquoi $f$ admet-elle des développements limités en $0$ à n'importe quel ordre ?
\item  Donner le développement limité de $f$ au voisinage de $0$ à l’ordre $5$.
\item  Donner une équation de la tangente à $\mathscr C_f$ en $0$. \'Etudier la position de la courbe $\mathscr C_f$ par rapport à la tangente au voisinage du point d’abscisse $0$.
\item Tracer l'allure de la courbe $\mathscr C_f$ (on fera apparaître la tangente en $0$).
\end{enumerate}
\textbf{Partie II : \'Etude d’une équation différentielle}

Soit $n \in \N^*$ et $(E_n)$ l'équation différentielle (où $y$ est la fonction inconnue et $x$ la variable) :
\[xy'+(n-2x^2)y = n-2x^2\]
On notera aussi $(H_n)$ l'équation homogène (ou sans second membre) associée à $(E_n)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Résoudre $(H_n)$ sur $\R_+^*$ et sur $\R_-^*$.
\item En déduire les solutions de $(E_n)$ sur $\R_+^*$ et sur $\R_-^*$.
\item Donner toutes les fonctions définies et de classe $\mathscr C^1$ sur $\R$ solutions de $(E_n)$ sur $\R$. On distinguera les cas $n = 1$ et $n \geqslant 2$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie III : \'Etude de deux suites}

On suppose désormais dans toute la suite du problème que l’entier naturel $n$ est supérieur ou égal à 2 et on pose :
\[f_n : x \mapsto  3 x^n \exp(-x^2) - 1.\]
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier l'existence et l'unicité de réels $u_n$ et $v_n$ vérifiant $0 \leqslant u_n < 1 < v_n$ tel que $f_n(u_n) = f_n(v_n) = 0$.
\item \'Etudier l'existence et la valeur éventuelle de la limite de la suite $(v_n)$.
\item Déterminer le signe de $f_{n+1}(u_n)$.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente (on commencera par étudier sa monotonie avec la question précédente). On note, dans la suite, $\ell \in \R$ sa limite.
\end{enumerate}
Soit $g_n$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $\forall x > 0$, $g_n(x) = \ln 3 + n \ln x - x^2$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout $t \in \R_+^*$, $f_n(t) = 0 \Longleftrightarrow g_n(t) = 0$.
\item En raisonnant par l'absurde, montrer que $\ell = 1$.
\item Soit la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier $n \geqslant 2$ par : $w_n = u_n - 1$. Déterminer un équivalent simple de $(w_n)$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}