\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Mathematiques
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%  Figures et tableaux de variations
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%  Metadonnees du PDF
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  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS5 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
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\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

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%  Exercices et numerotation des questions
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\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
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% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
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% Delimiteurs
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% Operateurs en style « display »
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% Fonctions et operateurs
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% Logique
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% Encadre sur une ligne d'un environnement align
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% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
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  \hskip -\arraycolsep
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% Geometrie
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\newcommand{\setdef}[2]{\left\{#1\ \middle|\ #2\right\}}
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\newcommand{\iex}[1]{\exists #1,\ }

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie. \textbf{Vous séparerez, dans vos copies, les exercices 1,3,5 des exercices 2,4.}}

\bigskip

\begin{Exo}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, la limite, si elle existe de $x \mapsto \frac{\arctan x}{x}$ en $0$.
\item On se place dans un repère orthonormal du plan affine. Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y) \in \R^2$ vérifiant :
\[x^2+y^2+2x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{9}{16}=0.\]
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
    Dans cette question, on consid\`ere la fonction d\'efinie par $ f(x) = \dfrac{x\ln x}{1-x}$.
    \begin{enumerate}
    \item Donner le domaine de d\'efinition~$\mathcal{D}_f$ de~$f$ et montrer que~$f$ est~$\mathscr C^\infty$ sur ce domaine.
    \item \label{ProlC0} Calculer les limites de~$f$ aux bornes de~$\mathcal{D}_f$. La fonction~$f$ est-elle prolongeable par continuit\'e? Si oui, en quels points?
    \item Calculer~$f'(x)$ pour tout~$x\in\mathcal{D}_f$.
    \item Le prolongement obtenu \`a la question~\ref{ProlC0} est-il d\'erivable en~0?
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}

On se place dans un repère orthonormé direct $\mathcal{R}=\pth{O,\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}}$ de l'espace usuel $\mathscr{E}$.
\begin{enumerate}[leftmargin=0.7cm]
\item Donner une équation de la sphère $\mathscr{S}$ de centre $\Omega(1,1,0)$ et de rayon $R=13$.
\item Donner une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A(5,1,3)$ et dirigé par $\vect{u}(0,1,0)$ et $\vect{v}(3,0,-4)$.
\item Donner une paramétrisation et une équation cartésienne de la droite $(A\Omega)$.
\item Vérifier que $(A\Omega)$ est perpendiculaire à $\mathscr{P}$. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $\Omega$ sur~$\mathscr{P}$.
\item On considère la droite $\mathscr D$ passant par $H$ et dirigée par $\vect{u}$ et $\mathscr D'$ la droite passant par $\Omega$ et dirigée par $\vect{v}$. Justifier que $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ ne sont pas parallèles puis déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire commune à $\mathscr D$ et $\mathscr D'$.
\item Montrer que $\mathscr{S}\cap \mathscr{P}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon (on justifiera soigneusement sa réponse).
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}

  Pour tout~$t\geq 0$, on note~$f_t$ la fonction d\'efinie sur~$\R$ par
  $$ \forall x\in\R,\quad f_t(x) = \frac{\e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}. $$
  \medskip

  {\noindent \bf Partie I-A: propri\'et\'es \'el\'ementaires de \boldmath $f_t$}

  Dans les questions~1 \`a 4, on fixe un r\'eel~$t\in[0,1]$.
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que~$f_t$ est de classe~$\mathscr C^\infty$ sur~$\R$.
  \item Calculer, pour tout entier naturel~$n$, la d\'eriv\'ee $n$-i\`eme de~$f_t$.
  \item \label{ftprimeseconde} Montrer que, pour tout~$x\in\R_+$,
    $$-1 \leq f_t'(x) \leq 0 \quad\text{et}\quad  0 \leq f_t''(x) \leq 1+t^2.$$
  \item \label{ftLipschitz} En citant pr\'ecis\'ement le th\'eor\`eme utilis\'e ainsi que ses hypoth\`eses, d\'eduire de la question pr\'ec\'edente que, pour tout~$(x_1,x_2)\in\R^2$ tels que~$0 \leq x_1 \leq x_2$,
    $$ -(x_2-x_1) \leq f_t(x_2)-f_t(x_1) \leq 0. $$

  \end{enumerate}
  \bigskip

\noindent  Dans toute la suite de l'exercice, on consid\`ere la fonction~$\phi$ d\'efinie par
  $$ \forall x \in \R,\; \phi(x) = \int_0^1 \dfrac{\e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \dx t = \int_0^1 f_t(x) \dx t. $$
    On notera en particulier que la variable \og globale\fg\@ est~$x$, tandis que la variable d'int\'egration est~$t$.
  \bigskip

  {\noindent \bf \boldmath Partie I-B: propri\'et\'es \'elementaires de~$\phi$}
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Calculer~$\phi(0)$.
  \item Montrer que:
    $$\forall x\geq 0,\quad 0 \leq \phi(x) \leq \dfrac{\pi}{4} \e^{-x}.$$
    La fonction~$\phi$ admet-elle une limite en $+\infty$?
  \item \`A l'aide de la question~\ref{ftLipschitz}, montrer que, pour tout~$(x_1,x_2) \in\R^2$ tels que~$0 \leq x_1  \leq x_2$,
    $$ -(x_2-x_1) \leq \phi(x_2)-\phi(x_1) \leq 0.  $$
  \item En d\'eduire que~$\phi$ est continue sur~$\R_+$. Quel est le sens de variations de~$\phi$?

  \end{enumerate}
  \medskip

  {\noindent \bf Partie II: \'egalit\'e de Taylor-Lagrange \`a l'ordre~1}

  \noindent {\it Cette partie est ind\'ependante de la pr\'ec\'edente.} \smallskip

  Soit~$(a,b)\in\R^2$ tel que~$a<b$. Le but de cette partie est d'\'etablir le r\'esultat suivant, appel\'e {\it \'egalit\'e de Taylor-Lagrange \`a l'ordre~1}: pour toute fonction $g:[a,b]\to\R$ de classe~$\mathscr C^1$ sur~$[a,b]$ et deux fois d\'erivable sur~$]a,b[$, il existe un r\'eel~$c\in]a,b[$ tel que
          $$ g(b) = g(a)+g'(a)(b-a)+\frac{g''(c)}{2}(b-a)^2. $$
  On fixe donc une fonction~$g$ de classe~$\mathscr C^1$ sur~$[a,b]$ et deux fois d\'erivable sur~$]a,b[$. Pour tout~$\lambda\in\R$, on note alors~$h_\lambda$ la fonction d\'efinie sur~$[a,b]$~par
  $$ \forall x \in[a,b],\; h_\lambda(x) = g(b)-g(x)-g'(x)(b-x)-\frac{\lambda}{2}(b-x)^2. $$

  \begin{enumerate}[resume]
  \item Montrer que~$h_\lambda$ est d\'erivable sur~$]a,b[$ de d\'eriv\'ee
    $$ h_\lambda ':x\in]a,b[ \longmapsto (\lambda-g''(x))(b-x). $$
  \item Montrer qu'il existe un unique~$\lambda\in\R$ tel que~$h_\lambda(a) = 0$. Dans la suite, on supposera que~$\lambda$ est \'egal \`a cette valeur.
  \item Que valent alors~$h_\lambda(a)$ et~$h_\lambda(b)$? En d\'eduire qu'il existe un r\'eel~$c\in]a,b[$ tel que $\lambda = g''(c)$. On citera pr\'ecis\'ement le th\'eor\`eme utilis\'e ainsi que ses hypoth\`eses.
  \item En rempla\c{c}ant~$\lambda$ par~$g''(c)$ dans l'\'egalit\'e \og $h_\lambda(a)=0$\fg, montrer l'\'egalit\'e de Taylor-Lagrange \`a l'ordre~1.

  \item \label{InegTL} En d\'eduire que, s'il existe de plus~$(m,M)\in\R^2$ tels que
    $$ \forall x\in]a,b[,\;  m \leq g''(x) \leq M $$
          alors
      $$ \dfrac{m}{2} (b-a)^2 \leq g(b)-\Big(g(a)+g'(a)(b-a)\Big) \leq \dfrac{M}{2}(b-a)^2. $$

  \end{enumerate}
  \newpage

  {\bf \boldmath \noindent Partie III: \'etude de la d\'erivabilit\'e de~$\phi$ et applications}
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Soit~$(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que~$x_1 < x_2$. \`A l'aide des questions~\ref{ftprimeseconde} et~\ref{InegTL}, montrer que
    $$ 0 \leq \phi(x_2)-\phi(x_1)+(x_2-x_1)\int_0^1 \e^{-x_1(1+t^2)}\dx t \leq \dfrac{2}{3}(x_2-x_1)^2. $$
  \item En d\'eduire que~$\phi$ est d\'erivable sur~$\R_+$ et que
    $$ \forall x \geq 0,\; \phi'(x) = -\int_0^1 \e^{-x(1+t^2)}\dx t. $$
    On pourra, pour tout~$x\geq 0$, \'etudier la limite du taux d'accroissement $(\phi(x+h)-\phi(x))/h$ quand~$h$ tend vers~$0$ \`a droite et~\`a gauche.
  \item Montrer que la fonction:
    $$ \Phi:x\mapsto \phi(x^2)+\left(\int_0^x \e^{-t^2}\dx t\right)^2  $$
    est constante sur~$\R_+$. Quelle est sa valeur?

    {\it Indication: on sera amen\'e \`a effectuer le changement de variable \og $u=tx$ \fg\@ (bien noter que~$t$ est la variable d'int\'egration!).}
  \item En d\'eduire que
    $$ \lim\limits_{x\to + \infty} \left(\int_0^x \e^{-t^2}\dx t\right) = \frac{\sqrt\pi}{2}. $$
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
\par\noindent\textit{Cet exercice comporte $3$ parties. On pourra admettre les résultats de la partie $A$ pour répondre aux questions des parties $B$ et $C$ et les questions de la partie $B$ pour répondre à la partie $C$.}

\subsubsection*{A - Puissance d'un point par rapport à un cercle}

On suppose le plan $\mathscr{P}$ muni d'un repère orthonormé direct $\mathcal{R} =\pth{O,\vect{\imath},\vect{\jmath}}$. Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Pour tout point $M$ du plan, on appelle puissance de $M$ par rapport à $\mathscr{C}$ le nombre réel :
\[ P_{\mathscr{C}}(M) = \Omega M^2 - R^2 .\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $P_{\mathscr{C}}(M)$ selon la position de $M$ par rapport à $\mathscr{C}$.
\item Quelle est la plus petite valeur possible de $P_{\mathscr{C}}(M)$ ? Déterminer l'ensemble des points $M$ en lesquels cette valeur est atteinte.
\item Soit $k\in\R$. Déterminer l'ensemble $\mathcal{L}_k =\setdef{M\in\mathscr{P}}{P_{\mathscr{C}}(M)=k}$. On discutera selon les valeurs de $k$.
\end{enumerate}

\noindent Soit $M$ un point du plan et $\Delta_1$ une droite passant par $M$ coupant le cercle $\mathscr{C}$ en deux points distincts $A$ et $B$. Soit $A'$ le point du cercle $\mathscr{C}$ diamétralement opposé au point $A$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $P_{\mathscr{C}}(M) =\scal{\vect{AM}}{\vect{A'M}}$.
\item En déduire que $P_{\mathscr{C}}(M) =\scal{\vect{AM}}{\vect{BM}}$.
\end{enumerate}
Soit $\Delta_2$ une droite passant par $M$ et coupant le cercle $\mathscr{C}$ en un point $C$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que si $\Delta_2$ est tangente à $\mathscr{C}$, alors $P_{\mathscr{C}}(M) = \scal{\vect{CM}}{\vect{CM}}$.
\item Réciproquement, montrer que si $P_{\mathscr{C}}(M) = \scal{\vect{CM}}{\vect{CM}}$ et $M$ n'est pas sur $\mathscr{C}$, alors $\Delta_2$ est tangente à $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{B - Cocyclicité}

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés du plan.

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle. Expliquer avec précision comment construire le cercle passant par ces trois points. On note $\mathscr C$ ce cercle.
\end{enumerate}

\noindent Soit $I$ un point de la droite $(AB)$ distinct de $A$ et $B$, et $D$ un point de la droite $(IC)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On suppose dans cette question que $D \in \mathscr C$. Montrer que $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IC} \cdot \overrightarrow{ID}$.
\item On suppose dans cette question que $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IC} \cdot \overrightarrow{ID}$. Montrer que $D \in \mathscr C$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{C - Application}

Dans cette partie, on se place désormais dans le plan complexe. On considère un vecteur $\vect{u}$ d'affixe $z \in \C$ et un vecteur $\vect{v}$ d'affixe $z'\in\C$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Rappeler la relation entre $\lVert \vect u + \vect v\rVert$, $\lVert \vect u \rVert$, $\lVert \vect v \rVert$ et $\vect u \cdot \vect v$.
\item Déduire de la question précédente que $\vect u \cdot \vect v = \text{Re}(z \overline{z'})$.
\item Soit $A$, $B$, $C$, $D$ les points d’affixes complexes respectives $z_A = -3 - i$, $z_B = 5i$, $z_C = -1 - 7i$ et~$z_D = 14 - 2i$. Déterminer l'affixe de l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$ puis montrer que $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques (c’est-à-dire situés sur un même cercle).
\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}