\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Encodage, langue, polices
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%  Mathematiques
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\SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n}

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%  Mise en page
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\usepackage{fancyhdr}
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%  Figures et tableaux de variations
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\usepackage{tkz-tab}

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%  Metadonnees du PDF
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  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS4 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
\fancyhead[R]{\large\indexation}
\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
\fancyfoot[R]{\textbf{\thepage/\pageref{LastPage}}}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

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%  Exercices et numerotation des questions
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\newcounter{Exo}
\renewcommand{\theExo}{\TD.\arabic{Exo}.}
\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
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% Delimiteurs
\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
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% Operateurs en style « display »
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% Fonctions et operateurs
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\newcommand{\Ck}[1]{\mathscr{C}^{#1}}
% Logique
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\newcommand{\pt}[1]{\forall #1,\ }
% Encadre sur une ligne d'un environnement align
\newcommand{\boxedalign}[2]{\Aboxed{#1 & #2}}

% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie. \textbf{Vous séparerez, dans vos copies, les exercices 1,3,5,6 des exercices 2,4.}}

\bigskip

\begin{Exo}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n \in \N^*$ par : \[u_n = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n.\]
\item Justifier que, pour tout $n \in \N$, $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.
\item On considère une urne contenant $n\in\N$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire $5$ boules simultanément dans cette urne. Combien y a-t-il de tirages possibles ? Combien y a-t-il de tirages ne comprenant pas la boule~$1$ possibles ?
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Soit $f$ la fonction définie sur~$\R^*$ par
  $$ \forall x\in\R^*,\; f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{\sh x}{x} & \text{si } x\neq 0 \\[2mm] 1 & \text{si }x=0 \end{array}\right. $$
  \begin{enumerate}
  \item \'Etudier la parit\'e de $f$.
  \item Montrer que $f$ est continue sur~$\R$.
  \item Montrer que: $\forall x > 0,\, x\ch x - \sh x > 0$. En déduire le tableau de variations de~$f$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, l'équation $f(x)=\dfrac{n+1}{n}$ d'inconnue~$x$ admet une unique solution strictement positive.
    \end{enumerate}
    On note~$x_n$ la valeur de cette solution et on étudie désormais la convergence de la suite $(x_n)_n$.
    \begin{enumerate}
      \setcounter{enumii}{1}
    \item Montrer que~$(x_n)_n$ est décroissante. En déduire qu'elle admet une limite réelle~$l$.
    \item Donner la valeur de~$f(l)$. En déduire que~$l=0$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Soit $m \in \R$. On souhaite résoudre le système, d'inconnues $x,y,z \in \R$ : $$ (S_m)\left\{\begin{array}{rcl} (1-m) x + 2 y -z& = & 0 \\
-2x - (3+m) y + 3z & = & 0 \\
x+y-(2+m) z & = & 0
\end{array}\right.$$

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le système $(S_m)$ sous forme matricielle $A_m X = B$ où $A_m \in \mathcal M_3(\R)$ et $B$ un vecteur de $\R^3$.
\item Justifier que la matrice $A_m$ est inversible si et seulement si $-3m-m^2 \neq 0$ et $-1-m \neq 0$. On indiquera les opérations élémentaires effectuées sur la matrice $A_m$.
\item Résoudre le système $(S_m)$ lorsque $m \notin \left\{ -3,-1,0\right\}$.
\item Résoudre le système $(S_m)$ lorsque $m \in \left\{ -3,0\right\}$. On précisera les inconnues principales et secondaires et on écrira précisément l'ensemble des solutions du système.
\item Résoudre le système $(S_m)$ lorsque $m = -1$.
\item Déterminer l'expression de l'inverse de la matrice $A_m$ lorsque $m \notin \left\{ -3,-1,0\right\}$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}

  \noindent Dans tout l'exercice, on considère la fonction
  $$ f: \left\{ \begin{array}{rcl}
    [0,2] & \to & \R \\
    x & \mapsto & \sqrt{2-x}
  \end{array}
  \right.$$
  et la suite $(u_n)_n$ définie par
  $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0 \in [0,1[ \\ \forall n\in\N, u_{n+1}=f(u_n). \end{array}\right. $$
    \begin{enumerate}
    \item \label{Q1} Montrer que, pour tout $n\in\N$, le réel $u_n$ est bien défini et appartient à l'intervalle $\left[0,\sqrt{2}\right]$.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que $u_1 \in \left]1,\sqrt{2}\right]$.
      \item \label{Q22} Montrer par récurrence que:
            $$ \forall n\in\N,\, u_{2n} < 1 < u_{2n+1}. $$
      \item Est-il possible que $(u_n)_n$ soit monotone à partir d'un certain rang?
      \end{enumerate}
    \item On pose, pour tout entier~$n$, $v_n = u_{2n}$.
      \begin{enumerate}
      \item Donner le sens de variations de $f$. En déduire celui de $f\circ f$.
      \item On suppose que $v_0 \leq v_1$. Montrer par récurrence que: $\forall n\in\N,\, v_{n}\leq v_{n+1}$. En déduire que $(v_n)_n$ admet une limite réelle.
      \item Montrer que si $v_0 > v_1$, alors $(v_n)_n$ admet également une limite réelle.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}

    \noindent On admet que la suite $(w_n)_n$ définie par
    $$ \forall n\in\N,\, w_n = u_{2n+1} $$
    admet également une limite réelle (la démonstration étant strictement analogue à celle pour $(v_n)_n$). On note $l = \lim\limits_{n\to +\infty} u_{2n}$ et $l' = \lim\limits_{n\to +\infty} u_{2n+1}$.

    \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{3}
    \item \label{Q4} Soit $\alpha>0$. Montrer que, pour tout $(x,y)\in [\alpha,+\infty[^2$ tels que $x\leq y$,
        $$ 0 \leq \sqrt{y}-\sqrt{x} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{\alpha}} (y-x) $$
        On pourra développer l'expression $\big(\sqrt{y}-\sqrt{x}\big)\big(\sqrt{y}+\sqrt{x}\big)$.
      \item Déduire des questions \ref{Q1}, 2.2 et \ref{Q4} que
        $$ \forall n\in\N^*,\, 0 \leq w_n-v_{n+1} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}(w_n-v_n). $$
      \item Montrer que $\dfrac{1}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}} < 1$.
      \item En déduire que $l=l'$.
      \item Montrer que $(u_n)_n$ converge vers~1.
    \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
On considère une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$, dans laquelle on effectue $p$ tirages avec $p\in \Cro{1,n}$. Dans les questions 1,2,3, on considère que les tirages sont effectués simultanément.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.
\item Soit $k\in \Cro{p,n}$. Déterminer le nombre de tirages possibles où le plus grand numéro obtenu est $k$.
\item En déduire la valeur de $\dsum_{k=p}^n \dbinom{k-1}{p-1}$. \textit{On justifiera soigneusement sa réponse.}
\end{enumerate}
Dans les questions suivantes, on considère que les tirages sont effectués successivement et avec remise.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.
\item Déterminer le nombre de tirages possibles où apparaissent $p$ boules différentes.\\
Que remarque-t-on?
\item Déterminer le nombre de tirages possibles où la somme des numéros obtenus vaut $p+2$.
\item Déterminer le nombre de tirages possibles où apparaissent exactement deux boules différentes.
\item Déterminer le nombre de tirages possibles où apparaissent exactement trois boules différentes.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
On pose, pour tout entier naturel $a\geq2$, $M_a = 2^a - 1$.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $a\in\N$ et $a \geqslant 2$ n'est pas un nombre premier. Justifier qu'il existe des entiers naturels $b,c \geq 2$ tels que : \[(2^b-1)\,\big(1+2^b+\cdots+(2^b)^{c-1}\big) = 2^a-1.\] En déduire que dans ce cas $M_a$ n'est pas premier.
\item En appliquant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de $2^6-1$ et $2^8-1$.
\item Soient $a,b$ des entiers naturels vérifiant $a > b \geq 2$. On souhaite déterminer le PGCD de $M_a$ et $M_b$. On note $q$ le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $M_a$ par $M_b$ est $M_r$.
\item Conclure que le PGCD de $M_a$ et $M_b$ est $M_{u}$ où $u$ est le PGCD de $a$ et $b$. Cela est-il cohérent avec la question $2$ ?
\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}