\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Mathematiques
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%  Mise en page
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%  Figures et tableaux de variations
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\usepackage{tkz-tab}

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%  Metadonnees du PDF
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  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS3 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
\fancyhead[R]{\large\indexation}
\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
\fancyfoot[R]{\textbf{\thepage/\pageref{LastPage}}}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

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%  Exercices et numerotation des questions
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\newcounter{Exo}
\renewcommand{\theExo}{\TD.\arabic{Exo}.}
\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
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\newcommand{\Cro}[1]{\llbracket #1\rrbracket}
% Delimiteurs
\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
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% Operateurs en style « display »
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% Fonctions et operateurs
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% Logique
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% Encadre sur une ligne d'un environnement align
\newcommand{\boxedalign}[2]{\Aboxed{#1 & #2}}

% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie. \textbf{Vous séparerez, dans vos copies, les exercices 1,3,5 des exercices 2,4.}}

\bigskip

\begin{Exo}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$,
\[\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]
\item Soit $n \in \N^*$. Que valent
\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k} ?\]
\item En raisonnant par contraposition, montrer que, pour tout $n \in \N$, si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  \noindent {\bf Première partie: inégalité de Cauchy-Schwarz}
  \begin{enumerate}
  \item \label{Young2} Montrer que pour tout couple $(a,b)$ de réels on a l'inégalité: $ab \leq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2)$.
  \item \label{CSnorme1} Soient $n\in \N^*$, $(u_1,\dots,u_n) \in \R^n$ et $(v_n,\dots,v_n) \in \R^n$. On suppose que
    $$ \sum\limits_{i=1}^n u_i^2 = \sum\limits_{i=1}^n v_i^2 = 1.  $$
    Montrer que $\dsum\limits_{i=1}^n u_iv_i \leq 1$.
  \item Soient $n\in\N^*$, $(x_1,\dots,x_n) \in \R^n$ et $(y_1,\dots,y_n) \in \R^n$. Le but de cette question est de démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
    $$ \sum\limits_{k=1}^n x_ky_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n y_k^2}. $$
    \begin{enumerate}
    \item On suppose que $(x_1,\dots,x_n) = (0,\dots,0)$ ou $(y_1,\dots,y_n) = (0,\dots,0)$. Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée.
    \end{enumerate}
    \noindent Dans les questions qui suivent, on suppose que $(x_1,\dots,x_n) \neq (0,\dots,0)$ et $(y_1,\dots,y_n) \neq (0,\dots,0)$.
    \begin{enumerate}
      \setcounter{enumii}{1}
    \item Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, les réels
      $$ u_k = \frac{x_k}{\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2}} \quad\text{et}\quad v_k = \frac{y_k}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n y_i^2}} $$
      sont bien définis.
    \item Montrer que $\dsum\limits_{k=1}^n u_k^2 = \dsum\limits_{i=k}^n v_k^2 = 1$.
    \item Conclure à l'aide de la question \ref{CSnorme1}.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

  \noindent {\bf Deuxième partie: une inégalité de Hardy discrète}

  Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et soit $(a_1,\dots,a_n) \in (\R_+)^n$ . Pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, on note $b_k$ la \og moyenne\fg\@ de $a_1,\dots,a_k$,~{\it i.e.}
  $$ b_k = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^k a_i.  $$
  On pose également $b_0=0$. Le but des questions qui suivent est de montrer l'inégalité suivante:
  $$ \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 \leq 4\sum\limits_{k=1}^n a_k^2. $$
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{3}
    \item
      Soit $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$.
      \begin{enumerate}
      \item Exprimer $b_k$ en fonction de $b_{k-1}$ et de $a_k$. En déduire que:
      $$ a_k b_k = kb_k^2-(k-1)b_{k-1}b_k. $$
  \item En utilisant l'inégalité de la question \ref{Young2} pour majorer le produit $b_{k-1}b_k$, montrer que
    $$ b_k^2 \leq 2a_kb_k - (kb_k^2-(k-1)b_{k-1}^2).  $$
      \end{enumerate}
  \item À l'aide de la question précédente, montrer que $\dsum\limits_{k=1}^n b_k^2 \leq 2\dsum\limits_{k=1}^n a_kb_k$.
  \item Conclure à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Le but de cet exercice est de résoudre l'équation différentielle suivante, de fonction inconnue $y$ de la variable réelle $x$ :
\[ (E) \ :\ (1+x^2)y''+xy'-y=x\sqrt{1+x^2}. \]
On considère également l'équation différentielle suivante, de fonction inconnue $z$ de la variable réelle $t$ :
\[ (F) \ :\ z''-z=\dfrac{1}{4}\pth{e^{2t}-e^{-2t}}.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation homogène associée à $(F)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(F)$.
\item Justifier que la fonction $\sh$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$. On note $\sh^{-1}$ sa bijection réciproque.
\item Montrer que pour tout réel $x$ : $\ch\pth{\sh^{-1}(x)}=\sqrt{1+x^2}$. Simplifier également, pour tout réel $x$ : $\sh\pth{\sh^{-1}(x)}$, $e^{\sh^{-1}(x)}$ et $e^{-\sh^{-1}(x)}$.
\item Justifier que la dérivée de $\sh^{-1}$ est $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ (on précisera sur quel ensemble).
\end{enumerate}
Soit $y:\R\to\R$ une fonction deux fois dérivable. On pose $z : t \mapsto y(\sh(t))$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer, en justifiant, $z'(t)$ et $z''(t)$ en fonction de $y$ et $t$. En déduire que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de $(F)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ en fonction de $\sh^{-1}$.
\item Déterminer finalement l'ensemble des solutions de $(E)$ (on simplifiera au maximum l'expression précédente).
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Dans tout l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur $\N^2$ par
  $$ \forall (p,q)\in\N^2,\; f(p,q) = p+\frac{(p+q)(p+q+1)}{2}. $$
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout $(p,q)\in\N^2$, $f(p,q)$ est un entier naturel.
  \end{enumerate}
  L'objectif des questions qui suivent est de montrer que $f$ réalise une bijection de $\N^2$ sur $\N$.
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{1}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit $(p,q)\in\N^2$. Montrer que
      $$ \frac{(p+q)(p+q+1)}{2} \leq f(p,q) < \frac{(p+q+1)(p+q+2)}{2}. $$
    \item Soient $(p,q)$ et $(p',q')$ deux couples d'entiers naturels. Montrer que si $p+q<p'+q'$, alors $f(p,q)<f(p',q')$.

      {\it On pourra admettre et utiliser le fait que la fonction $x\mapsto \dfrac{x(x+1)}{2}$ est strictement croissante sur $\R_+$.}
    \item Montrer que $f$ est injective.
    \end{enumerate}
  \item Soit $n$ un entier naturel.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que l'ensemble $A = \left\{ m \in \N\,:\, \dfrac{m(m+1)}{2} \leq n \right\}$ admet un plus grand élément.
    \end{enumerate}
    Soit $M = \max A$. On pose $ p = n-\dfrac{M(M+1)}{2}$ et  $q=M-p$.
    \begin{enumerate}
      \setcounter{enumii}{1}
      \item Montrer que $q=\dfrac{(M+1)(M+2)}{2}-n-1$.
      \item Montrer que $p$ et $q$ sont deux entiers naturels et que $f(p,q)=n$.
    \end{enumerate}
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Ce problème est consacré à l'étude de deux équations polynomiales de degré 3 d'inconnue $z \in \C$ :

\[ z^3 + a\,z^2+b\,z+c = 0\label{cardan}\tag{E}\]

\noindent où $a,b,c\in\R$.

\smallskip

\noindent \textbf{Deux cas particulier où $a = b = 0$.}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$ : $z^3 = 8\i$.
\end{enumerate}

On souhaite désormais résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$ :

\[ z^3 = 18+26\i\label{equadeg3}\tag{E1}\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $3+\i$ est une solution de \eqref{equadeg3}.
\item Déterminer finalement toutes les solutions de \eqref{equadeg3}.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Théorème de d'Alembert-Gauss pour le degré 3 dans le cas réel.}

\noindent On démontre ici un analogue du théorème pour les trinômes du second degré mais pour le degré 3 sans donner la forme des solutions : la forme des solutions est l'objet de la partie suivante.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que l'équation~\eqref{cardan} a au moins une solution réelle que l'on notera $\alpha$.
\item En déduire que l'équation \eqref{cardan} se réécrit \[ (z-\alpha)\,(a'z^2+b'z+c') = 0\] où on donnera une expression de $a',b',c'$ en fonction de $a,b,c$.
\item Combien l'équation \eqref{cardan} a-t-elle au plus de solutions distinctes ?
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Un troisième cas particulier : $a=0$, $b= -18$, $c=-35$.}

\noindent  On souhaite ici résoudre l'équation d'inconnue $z\in\C$ : \[ z^3-18\,z-35 = 0.\label{cardan1}\tag{E2}\]

\begin{enumerate}[resume]
\item La nombre $-\sqrt{6}$ est-il une solution de \eqref{cardan1} ?
\item Montrer que~\eqref{cardan1} a une unique solution réelle.
\end{enumerate}
On suppose que dans l'équation \eqref{cardan1}, il existe $u,v\in\C$ tels que $z=u+v$ et $uv=6$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $u^3 + v^3 = 35$.%Que vaut $u^3\,v^3$ ?
\item Montrer que $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de l'équation d'inconnue $X\in\C$ : $X^2 - 35 X+216 =0$.
\item En déduire les valeurs possibles pour $u^3$ et $v^3$ puis résoudre finalement \eqref{cardan1} (on pourra calculer $19^2$).
\end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}