\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Mathematiques
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\usepackage{mathrsfs}                 % \mathscr
\usepackage{stmaryrd}                 % \llbracket, \rrbracket
\SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n}

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%  Mise en page
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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

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%  Figures et tableaux de variations
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\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{babel}                % compatibilite TikZ / babel francais
\usepackage{tkz-tab}

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%  Metadonnees du PDF
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\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\hypersetup{
  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- Corrigé du DS2 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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\newcommand{\TD}{DS2}
\newcommand{\titre}{Corrigé du DS2}
\newcommand{\indexation}{\begin{tabular}{r}\TD\\ Mathématiques - Corrigé\end{tabular}}

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%  En-tete, pied de page et titre
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\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
\fancyhead[R]{\large\indexation}
\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
\fancyfoot[R]{\textbf{\thepage/\pageref{LastPage}}}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

% =====================================================================
%  Exercices et numerotation des questions
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\newcounter{Exo}
\renewcommand{\theExo}{\TD.\arabic{Exo}.}
\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
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% Constantes et differentielle
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% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
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% Delimiteurs
\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}
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% Operateurs en style « display »
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% Fonctions et operateurs
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\newcommand{\Ck}[1]{\mathscr{C}^{#1}}
% Logique
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% Encadre sur une ligne d'un environnement align
\newcommand{\boxedalign}[2]{\Aboxed{#1 & #2}}

% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 4h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie.}

\bigskip

\begin{Exo}

\noindent Les questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item Soit $\theta \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$. Déterminer le module et un argument, lorsque c'est possible de $1 - \e^{2\i\theta}$.
\item Déterminer une primitive, sur un intervalle qu'on déterminera, de
\[ x \mapsto \frac{1}{x^2 + x + 1}.\]
\item En faisant le changement de variable $u =\sqrt{t^2 - 1}$, calculer
\[ \int_2^3 \frac{\dx{t}}{t \sqrt{t^2 - 1}}.\]
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  On définit pour tout $y\in \R$ la fonction $f_y$ par
  $$\forall x \in \R,\quad f_y(x) = x^2+2(y^2+1)x+(y^4+6y^2+1). $$
  \begin{enumerate}
  \item Dans cet question, $y$ est un réel fixé.
    \begin{enumerate}
    \item Résoudre l'équation $f_y(x) = 0$ d'inconnue $x \in \R$.
    \item En déduire deux réels $a_y$ et $b_y$, dépendant de $y$, tels que
      $$ \forall x \in \R,\quad f_y(x) = (x-a_y)(x-b_y). $$
    \end{enumerate}
  \item Dans cette question, on fixe un nombre complexe $z$ non nul.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer l'identité : $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|^2 = \dfrac{|z|^4+2\re(z^2)+1}{|z|^2}$.
    \item Soient $x= \re z $ et $y = \im z$. Montrer l'équivalence
      $$ \left|z+\dfrac{1}{z}\right| = 2 \Longleftrightarrow f_y(x) = 0. $$
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  \noindent Dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on appelle \og parabole renversée\fg~tout ensemble ayant pour équation $x=y^2+Ay+B$, où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles.
  \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $\left|z+\dfrac{1}{z}\right| = 2$ est l'union de deux paraboles renversées que l'on précisera.
  \item Déterminer les points de $\mathcal{E}$ dont l'affixe est réelle, puis ceux dont l'affixe est imaginaire pure.
  \item Tracer l'allure de $\mathcal{E}$.
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\newpage

\begin{Exo}
Le but de l'exercice est de tracer le graphe de la fonction $\varphi : x \mapsto \arccos(4x^3 - 3x)$. On notera $\mathscr C$ la courbe de~$\varphi$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$, en tant que fonction polynomiale, est de classe $\mathscr C^\infty$ sur $\R$ et, pour tout $x \in \R$,
\[ f'(x) = 12x^2 -3 = 12 (x+1/2)(x-1/2)\]
ce qui donne le tableau sur $[-1,1]$ :
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
          \tkzTabInit{$x$/0.5,$f$/1.5}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$+\infty$}
          \tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$1$,-/$-1$,+/$+\infty$}
          \tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$-1$}{$-1$}
          \tkzTabVal[draw]{3}{4}{0.5}{$1$}{$1$}
        \end{tikzpicture}
      \end{center}
Comme $\arccos$ est définie sur $[-1,1]$ et que, avec le tableau, pour tout $x \in \R$, $f(x) \in [-1,1] \Longleftrightarrow x \in [-1,1]$, \fbox{$\varphi$ est définie sur $[-1,1]$}.
\item On a, pour tout $x \in \R$,
\[ \cos(3x) = \text{Re}\left( (\cos x + \i \sin x)^3\right) = \text{Re}\left( \cos^3 x + 3 \i \sin x \cos^2 x - 3\sin^2 x \cos x -\i \sin^3 x\right) = \cos^3 x - \sin^2 x \cos x\]
puis, comme $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, on obtient,
\[\boxed{\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x}.\]
\item On pose $\psi : x \mapsto \arccos x + \arccos(-x)$. Cette fonction est définie sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$ et, pour tout $x \in ]-1,1[$,
\[ \psi'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} + (-1) \frac{-1}{\sqrt{1 - (-x)^2}} = 0.\]
Ainsi, $\psi$ est constante sur $]-1,1[$ et comme $\psi(0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi = \psi(-1) = \psi(1)$, on a donc, pour tout $x \in [-1,1]$, $\psi(x) = \pi$ cest-à-dire,
\[ \arccos(x) + \arccos(-x) = \pi.\]
La fonction $\varphi$ est définie sur $[-1,1]$ qui est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout $x \in [-1,1]$,
\begin{align*}
&\frac{\varphi(0+x) + \varphi(0-x)}{2} = \frac{\arccos(4x^3 - 3x) + \arccos(4(-x)^3 - 3(-x))}{2}\\
=& \frac{\arccos(4x^3 - 3x) + \arccos\big(-(4x^3 - 3x)\big)}{2} = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
donc \fbox{$\mathscr C$ est symétrique par rapport au point $A$ de coordonnées $(0,\frac{\pi}{2})$}.
\item  Soit $x \in [\frac{1}{2},1]$. La fonction $\cos$, en tant que fonction continue et strictement décroissante, réalise une bijection de $[0,\pi/3]$ sur $[\frac{1}{2},1]$ donc il existe un unique $t \in [0,\pi/3]$ tel que $x = \cos(t)$ ce qu'on peut écrire $t \arccos x$. On obtient
\[ \varphi(x) = \varphi( \cos t) = \arccos\big( 4\cos^3 t - 3\cos t \big) = \arccos(\cos 3 t) = 3t\]
où la dernière égalité est justifiée par le fait $3t \in [0,\pi]$. On a donc obtenu :
\[ \boxed{\forall x \in [0,\pi/3], \quad \varphi(x) = 3 \arccos x}.\]
\item Montrer également qu'il existe des réels $a,b \in \R$ tel que, pour tout $x \in [0,\frac{1}{2}]$, $\varphi(x) = a + b \arccos(x)$ où on donnera les valeurs de $a$ et $b$.
\item Tracer finalement $\mathscr C$. On commencera par tracer la courbe de la fonction $\arccos$ et on expliquera ensuite ses déductions.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{ExoP}
Le but de l'exercice est d'étudier la suite d'intégrale, qu'on notera, pour tout $n \in \N$,
\[ I_n = \int_1^e \frac{(\ln t)^n}{t^2} \dx{t}.\]

On note, dans ce problème, $0! = 1$ et, pour tout $n \in \N^*$,
\[ u_n = n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \times 2 \times \cdots \times n.\]

\noindent \textbf{Question préliminaire}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $u_n \geqslant 2^{n-1}$. En déduire la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, de $u_n$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Signe et monotonie de $(I_n)_{n\in\N}$}
On note, pour tout $n \in \N$,
\[ f_n : x \mapsto \frac{(\ln x)^n}{x^2}\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $f_n$ et justifier l'existence, pour tout $n \in \N$ de $I_n$.
\item Calculer $I_0$ puis $I_1$ (on pourra faire une intégration par parties).
\item \'Etudier la fonction $f_n$ sur son domaine de définition (on donnera son tableau de variations comportant les limites aux bornes de son ensemble de définition). En déduire le signe, pour tout $n \in \N$ de $I_n$.
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, pour tout $x \in [1,e]$, $f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x)$. En déduire la monotonie de la suite~$(I_n)=_{n\in\N}$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Convergence de $(I_n)_{n\in\N}$}
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer une relation, pour tout $n \in \N$ entre $I_{n+1}$ et $I_n$.
\item Calculer $I_2$.
\item En faisant le changement de variable $y = \ln t$, déterminer $a,b\in\N$ ainsi qu'une fonction $g$ tel que, pour tout $n \in \N$,
\[ I_n = \int_a^b y^n g(y) \dx{y}.\]
\item En déduire que pour tout $n \in \N$,
\[ 0 \leqslant I_n \leqslant \frac{1}{n+1}.\] La suite $(I_n)=_{n\in\N}$ est-elle convergente (si oui, on précisera sa limite) ?
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Une expression de $(I_n)_{n\in\N}$}
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer qu'il existe une suite \textbf{d'entiers naturels} $(b_n)_{n\in\N}$ tel que, pour tout $n \in \N$,
\[ I_n = n! - \frac{b_n}{e}.\]
On déterminera $b_0,b_1,b_2$ ainsi qu'une relation entre $b_n$ et $b_{n+1}$ pour tout $n\in\N$.
\item Déterminer la limite de $(b_n)_{n\in\N}$ puis la limite de $(b_n/n!)_{n\in\N}$.
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$,
\[ b_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.\]
\item Déterminer la limite de la suite $(e_n)_{n\in\N}$ définie par
\[ \forall n \in \N, \quad e_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.\]
\end{enumerate}
\end{ExoP}

\begin{Exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $x$ un réel non congru à $0$ modulo $\pi$. On définit la suite $(P_n(x))_n$ par
      $$ \forall n \in \N^*,\, P_n(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \, \cos\left(\frac{x}{4}\right) \, \dots \, \cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$$
    où, dans chaque cosinus, le dénominateur est une puissance de 2; on note aussi $P_n(x) = \displaystyle\prod\limits_{k=1}^n \cos\left(\dfrac{x}{2^k}\right)$.
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la formule \og $\sin(2x)=\dots$\fg, donner une expression simplifiée de $P_2(x)$ puis de $P_4(x)$.
\item On pose, pour tout $n\in\N^*$, $Q_n(x) = \sin\left(\dfrac{x}{2^{n}}\right)P_n(x)$. Exprimer $Q_{n+1}(x)$ en fonction de $Q_n(x)$.
\item En déduire une expression simplifiée de $Q_n(x)$ valable pour tout $n\in\N^*$.
\item Montrer alors que, pour tout $n\in\N^*$,
\[P_n(x) = \dfrac{1}{2^n} \dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{2^{n+1}}}.\]
\item Montrer que: $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.
\item En déduire la limite de la suite $(P_n(x))_{n\in\N^*}$ quand $n$ tend vers $+\infty$, en fonction de $x$.
\end{enumerate}
  \item On pose, pour tout $n \in \N^*$,
    $$ u_n = \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}} $$
    o\`u le symbole \og $\sqrt{\vphantom{A}\,}$\fg~appara\^it $n$ fois : ainsi, $u_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $u_2 = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, etc.
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout $n\in\N^*$.
    \item Montrer que:
      $$ \forall n \in \N^*,\; u_n = \cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right). $$
    \end{enumerate}
  \item Déduire des deux premières questions la formule de Viète (1593):
    $$ u_1\times u_2 \times \dots \times u_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} \dfrac{2}{\pi}.  $$
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}