\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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%  Encodage, langue, polices
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%  Mathematiques
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\usepackage{stmaryrd}                 % \llbracket, \rrbracket
\SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n}

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%  Mise en page
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\usepackage[top=3cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm, headsep=2.4em]{geometry}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

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%  Figures et tableaux de variations
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\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{babel}                % compatibilite TikZ / babel francais
\usepackage{tkz-tab}

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%  Metadonnees du PDF
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\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\hypersetup{
  pdfauthor  = {Laurent Pater \& Jean Louet},
  pdftitle   = {PTSI 1 -- DS1 (2017-2018)},
  pdfsubject = {Mathématiques -- PTSI 1 -- 2017-2018},
}

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%  Informations propres au document
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\newcommand{\TD}{DS1}
\newcommand{\titre}{DS1}
\newcommand{\indexation}{\begin{tabular}{r}\TD\\ Mathématiques\end{tabular}}

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%  En-tete, pied de page et titre
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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\begin{tabular}{l}PTSI 1\\ 2017-2018\end{tabular}}
\fancyhead[R]{\large\indexation}
\fancyfoot[L]{Lycée Jules Ferry -- Versailles}
\fancyfoot[R]{\textbf{\thepage/\pageref{LastPage}}}
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\newcommand{\Titre}{%
  \begin{center}
    {\LARGE\bfseries \titre}\par\smallskip
    \rule{\textwidth}{1pt}
  \end{center}}

% =====================================================================
%  Exercices et numerotation des questions
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\newcounter{Exo}
\renewcommand{\theExo}{\TD.\arabic{Exo}.}
\newenvironment{Exo}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Exercice \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}
\newenvironment{ExoP}
  {\refstepcounter{Exo}\par\noindent\textbf{Problème \theExo}~\\*}
  {\vspace{1em}\par}

% Questions numerotees 1., 1.1., 1.1.1.
\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
\setlist[enumerate,2]{label=\arabic{enumi}.\arabic*., ref=\arabic{enumi}.\arabic*}
\setlist[enumerate,3]{label=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*.,
                      ref=\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic*}

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%  Macros mathematiques
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% Ensembles
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
% Constantes et differentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\dx}[1]{\,\mathrm{d}#1}
% Intervalles : [a,b], ]a,b], [[a,b]]
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\croof}[1]{\left]#1\right]}
\newcommand{\Cro}[1]{\llbracket #1\rrbracket}
% Delimiteurs
\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1}}
% Operateurs en style « display »
\newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}
\newcommand{\dprod}{\displaystyle\prod}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}
% Fonctions et operateurs
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Vect}{Vect}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\Card}{Card}
\newcommand{\Ck}[1]{\mathscr{C}^{#1}}
% Logique
\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\pt}[1]{\forall #1,\ }
% Encadre sur une ligne d'un environnement align
\newcommand{\boxedalign}[2]{\Aboxed{#1 & #2}}

% Matrices augmentees : \begin{pmatrix}[ccc|ccc] ... \end{pmatrix}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}

\Titre

\noindent\textit{Durée : 2h. La calculatrice et tout autre document que des copies vierges est interdit. Vous inscrirez lisiblement vos noms et prénoms et laisserez une marge à gauche de votre copie pour les annotations (les marges déjà faites sur certaines copies suffisent). Si vous repérez une éventuelle erreur d'énoncé, faites le figurer sur votre copie.}

\bigskip

\begin{Exo}
Soit $m\in\R$. On considère l'équation, d'inconnue $x \in \R$ :

\begin{equation}
\sqrt{2+mx-2} = 2x+1 \label{equaa} \tag{$E_m$}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe, sur $\R$ de la fonction $x\mapsto 2+mx-2$ (on pourra traiter plusieurs cas).
\item Pour quelles valeurs de $x$ l’équation \eqref{equaa} est-elle définie ?
\item Résoudre les inéquations, d'inconnue $m\in\R$, $m - 1 \geqslant (m + 2)(m - 10)$ puis $(m + 2)(m - 10) \geqslant 1-m$.
\item Déduire finalement l'expression et le nombre des solutions de \eqref{equaa}.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \exp\left(\dfrac{1}{\ln x}\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$.
  \item Calculer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$, ainsi que les limites à droite et à gauche de $f$ en $1$.
  \item Dresser le tableau des variations de $f$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que, pour tout $x\in\mathcal{D}$, $f(x) \in \mathcal{D}$.
    \item En déduire que la fonction $f\circ f$ est définie sur $\mathcal{D}$ et la calculer.
    \item Montrer que $f$ est bijective de $\mathcal{D}$ dans $\mathcal{D}$ et donner $f^{-1}$. Qu'en déduire sur la courbe représentative de $f$?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \exp\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$ et calculer les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}$.
  \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathcal{D}$.
  \item En déduire le tableau de variations de $f$.
  \end{enumerate}
  \noindent L'objectif des questions qui suivent est de déterminer la plus grande valeur possible de $\sqrt[n]{n}$ pour $n \in \N^*$. On pose donc $u_n = \sqrt[n]{n}$ pour tout entier $n \geq 1$
  \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Justifier que la plus grande valeur de $u_n$ est $u_1$, $u_2$ ou $u_3$.
  \item Montrer que $\sqrt{2} \leq \sqrt[3]{3}$.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$, puis sur $\croof{-\pi,\pi}$ l'équation $\sin (4x)=\sin x$.
\item Soit $x\in\R$. Exprimer $\sin (4x)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$, puis vérifier que
\[ \sin (4x)-\sin x=\sin x(2\cos x+1)(4\cos^2 x -2\cos x -1).\]
\item En déduire la valeur de $\cos \dfrac{\pi}{5}$, puis de $\cos \dfrac{2\pi}{5}$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\newpage

\begin{Exo}
On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ 1-\cos(x) + \cos (2\,x) = 0.\label{eqtrig} \tag{E}\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de \eqref{eqtrig} pour $x\in ]-\pi,\pi]$ et pour $x \in \R$.
\end{enumerate}

\noindent Soit $n \in \N^*$. On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ 1-\cos(x) + \cos (2x) - \cdots + \cos(2nx) = 0.\label{eqtrig1} \tag{E'}\] qui peut s'écrire : \[ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k\cos(kx) = 0.\label{eqtrig2} \tag{E'}\]

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que pour tout $x \in ]-\pi,\pi[$,
\[ \cos(nx)\frac{\cos\left(\frac{2n+1}{2}x\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} - \cos\big( (2n+1) x\big) + \cos\big( (2n+2) x\big) = \cos\big( (n+1) x\big)\frac{\cos\left(\frac{2n+3}{2}x\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}.\]
\item Montrer que $x = \pi$ n'est pas solution de \eqref{eqtrig2}.
\item En déduire que pour tout $x\in ]-\pi,\pi[$ :\[ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \cos(kx)= \cos(nx)\frac{\cos\left(\frac{2n+1}{2}x\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}\]
\item Résoudre finalement \eqref{eqtrig2} pour $x\in ]-\pi,\pi[$ puis pour $x\in\R$.
\item Résoudre l'équation, d'inconnue $x\in\R$ :
\[ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k\sin(kx) = 0.\label{eqtrig3} \tag{E''}\]
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
  Dans toutes les questions qui suivent, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = x^3+x$.
  \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{0}
  \item Étudier la parité de $\varphi$.
  \item Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.
  \end{enumerate}
  On désigne maintenant par $\psi$ la bijection réciproque de $\varphi$.
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{2}
  \item Justifier que $\psi$ est dérivable sur $\R$ puis exprimer, pour tout réel $x$, $\psi'(x)$ en fonction de $\varphi(x)$.
  \item En déduire que $g'$ est dérivable sur $\R$. Quelle est la valeur de $(g')'(0)$?
  \end{enumerate}
  Dans les questions 3 et 4, on se donne une fonction $h:\R\to\R$.
  \begin{enumerate}
  \item On suppose dans cette question que $f$ est dérivable sur $\R$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire.
    \item Montrer que si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.
    \item Donner un exemple de fonction $f$, non impaire, et telle que $f'$ soit paire. Justifier votre réponse.
    \end{enumerate}
  \item Soit $J$ un intervalle de $\R$.
    \begin{enumerate}
    \item On suppose que $f$ est paire. Est-il possible que $f$ soit une bijection de $\R$ dans $J$ ?
    \item On suppose que $f$ est impaire et bijective de $\R$ dans $J$. Montrer que la bijection réciproque de $f$ est impaire.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Exo}

\end{document}